Стивен Строгац - Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире

7

Теорема, из которой следует, что сбалансированное состояние в полностью связной сети должно быть либо в виде одной нирваны для всех друзей, либо в виде двух взаимно антагонистических группировок, впервые была доказана в D. Cartwright and F. Harary, Structural balance: A generalization of Heider’s theory, Psychological Review, Vol. 63 (1956), pp. 277–293. Очень легко читаемая версия доказательства и простое введение в математику теории баланса дано двумя моими коллегами из Корнельского университета в работе D. Easley and J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (Cambridge University Press, 2010).

Примеры и графические изображения альянсов до Первой мировой войны взяты из T. Antal, P. L. Krapivsky and S. Redner, Social balance on networks: The dynamics of friendship and enmity, Physica D, Vol. 224 (2006), pp. 130–136, доступной по адресу http://arxiv.org/abs/physics/0605183. Эта статья, написанная тремя физиками, распространяет теорию баланса на динамические структуры, тем самым расширяя ее за пределы ранних статических подходов. Исторические подробности европейских союзов и альянсов приведены в W. L. Langer, European Alliances and Alignments, 1871–1890, 2nd edition (Knopf, 1956) и B. E. Schmitt, Triple Alliance and Triple Entente (Henry Holt and Company, 1934).

Кит Девлин написал провокационную серию очерков о природе умножения: что это такое, что в нем не так и почему определенные виды мышления более ценны и надежны в процессе умножения, чем другие. Он рассматривает умножение как масштабирование, не сводя его к процессу суммирования, и показывает, что эти два понятия (умножение как масштабирование и умножение как суммирование) существенно разнятся в реальных условиях. См. его январскую (2011 года) статью What exactly is multiplication? на http://archive.is/qCkK, а также три более ранних 2008 года: It ain’t no repeated addition (http://www.maa.org/devlin/devlin_06_08.html), It’s still not repeated addition (http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_08.html) и Multiplication and those pesky British spellings (http://www.maa.org/devlin/devlin_09_08.html). Эти статьи активно обсуждались в среде блогеров, особенно среди учителей.

В примере с джинсами порядок применения налогового сбора и скидки для вас не имеет значения – в обоих сценариях вы в конечном итоге платите 43,20 доллара. Но для правительства и магазина он весьма существенен! В сценарии продавщицы (при котором вы платите налог в зависимости от первоначальной цены) вы заплатите 4 доллара налога, в вашем сценарии – всего 3,20 доллара. Я не знаю, одинаков ли закон о налоге на продажи во всех штатах, но рациональнее всего взимать его на основе фактической цены в магазине. Дальнейшее обсуждение этих вопросов см. http://www.facebook.com/TeachersofMathematics/posts/166897663338316.

Обсуждение достоинств и недостатков закона Roth 401(k) см. публикации Commutative law of multiplication (http://thefinancebuff.com/commutative-law-of-multiplication.html) и The new Roth 401(k) versus the traditional 401(k): Which is the better route? (http://www.thesimpledollar.com/2007/06/20/the-new-roth-401k-versus-the-traditional-401k-which-is-the-better-route/).

Эта история о Мюррее Гелл-Манне рассказывается в G. Johnson, Strange Beauty (Knopf, 1999), p. 55. По словам самого Гелл-Манна, хотя его приняли в «страшный» Массачусетский технологический институт, он «рассматривал самоубийство как единственный выход из положения, если пролетаешь мимо Лиги плюща». «Мне пришло в голову (и это интересный пример некоммутирующих операторов), что можно попробовать учебу в Массачусетском технологическом институте и убить себя позже, в то время как обратный порядок событий невозможен». Этот отрывок приведен в H. Fritzsch, Murray Gell-Mann: Selected Papers (World Scientific, 2009), p. 298.

Рассказ о том, как Гейзенберг и Дирак открыли роль некоммутирующих переменных в квантовой механике, см. G. Farmelo, The Strangest Man (Basic Books, 2009), pp. 85–87.

Прим. ред.: По истории квантовой механики см., например: Пономарев Л. И. Под знаком кванта. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005; Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.