Теперь возьмем другую знакомую величину — площадь. Она измеряется в единицах измерения длины в квадрате, обычно в квадратных метрах, или м2. Площадь используется для измерения количества пространства, которое занимает плоская, то есть двумерная фигура. Итак, мы можем трактовать площадь как вид объема для двумерных объектов. Точно так же длина соответствует объему одномерных объектов.
Теперь вообразим, что в нашем мире только два измерения. То есть мы существа, ограниченные площадью, как муравьи. В этом мире мы не знали бы понятия объема, а только понятие плоскости. Для нас двумерным эквивалентом объема была бы площадь.
* * *
ФЛАТЛАНДИЯ
«Флатландия» (в переводе с английского "Flatland") — это название романа английского автора Эдвина Эбботта (1838–1926), в котором для сатирического описания викторианского общества используется понятие пространств из нескольких измерений. Во «Флатландии» рассказывается история о Квадрате, который живет в двумерном мире, где социальный статус каждого многоугольника определяется числом его сторон. Однажды квадрату наносит визит Сфера, которая живет в Трехмерии — трехмерной стране, и рассказывает ему о своей родине. Однако Квадрат отказывается верить в существование третьего измерения, пока не посещает страну своей новой знакомой.
Увидев третье измерение, главный герой предполагает существование еще большего количества измерений, например четвертого, пятого и шестого, но Сфера не верит ему и возвращает его обратно, во Флатландию, где Квадрат проводит остаток дней в тюрьме, пытаясь убедить соотечественников в том, что в мире больше двух измерений. Этот сюжет очень похож на сюжет мифа о пещере Платона, который, как говорят, поместил на дверях своей Академии изречение: «Не знающий геометрии да не войдет сюда».
В момент публикации «Флатландия» была принята довольно тепло, а после открытия Альбертом Эйнштейном общей теории относительности Эбботта стали считать фантастом за предвидение новых измерений.
Обложка первого издания «Флатландии».
* * *
Мы можем видеть, что объем указывает нам размер областей с тем же количеством измерений, что и наше пространство. Например, у куба три измерения, следовательно, у него есть объем. У квадрата, наоборот, объема нет, поскольку он не имеет толщины. Но у квадрата есть определенная площадь, которая описывает размер объекта с меньшей размерностью, чем наше пространство, в этом случае два.
Рассуждая подобным образом, мы можем расширить понятия объема и площади на пространства с количеством измерений больше трех. Назовем эти новые объем и площадь гиперобъемом и гиперплощадью.
В четырехмерном пространстве, скажем, гиперобъем выражается в единицах измерения длины в четвертой степени, например в м4. Гиперплощадь имеет на одно измерение меньше и выражается в единицах измерения длины в кубе — м3; то есть гиперплощадь в четырехмерном пространстве — это как объем в трехмерном. Кажется, что это сложно, но пользуясь математическими инструментами, разработанными для изучения п-мерных пространств, можно не только представить эти гиперобъемы и гиперплощади, но даже определить геометрические тела, подобные привычным нам трехмерным.
Простой пример — сфера. Трехмерная сфера определяется как геометрическая фигура, все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от центра; двумерная сфера, круг, определяется точно так же. Подобным же образом мы можем определить четырехмерную гиперсферу как фигуру, у которой все точки равноудалены от центра. Как видите, это определение справедливо для любого количества измерений. То есть n-мерная сфера — это геометрическое тело, все точки которого равноудалены от центра. Объем такой сферы выражается в единицах измерения длины в степени N, где N — число измерений рассматриваемого пространства.
Четырехмерный куб
Особый интерес вызывает такое четырехмерное тело, как гиперкуб. Поскольку это идеальный многогранник, вычислить его гиперобъем и даже представить его проекцию в трехмерном пространстве довольно просто.
Куб — это фигура, стороны которой равны и перпендикулярны друг другу. Пользуясь этим определением, мы можем заметить, что квадрат — это двумерный куб. Площадь квадрата, или двумерного куба, то есть его двумерный объем, вычисляется умножением длин его сторон.
В трехмерном пространстве объем куба также вычисляется умножением длин трех его сторон. Следовательно, в четырех измерениях нужно перемножить длины четырех его сторон. То есть гиперобъем гиперкуба со стороной два метра равен:
2·2·2·2 = 16 м4.
Можно ли представить трехмерный куб в двух измерениях? Конечно, мы делаем это постоянно.
Обратите внимание на то, как мы получили эту фигуру: сначала мы нарисовали два квадрата, то есть кубы в двух измерениях, и соединили их вершины. Результат — изображение трехмерного куба в перспективе. Как видите, мы изобразили на двумерном листе бумаги фигуру, существующую в пространстве, количество измерений которого на единицу больше, чем два.
Мы можем использовать этот же прием для того, чтобы нарисовать четырехмерный куб. Для этого нарисуем два трехмерных куба следующим образом.
Затем соединим все вершины и получим изображение четырехмерного куба, или гиперкуба, в перспективе.
Двумерная проекция гиперкуба.
* * *
СКОЛЬКО ГРАНЕЙ У ГИПЕРКУБА
Сначала нужно определить, что мы называем гранью. Если мы говорим о квадрате, является ли гранью каждая из его сторон? Или речь идет о его площади? Если речь идет о площади, то на самом деле мы задаемся вопросом, сколько квадратов — или двумерных кубов — есть в квадрате. Очевидно, что у квадрата только одна грань, образованная двумерным кубом.
Итак, мы хотим узнать, сколько граней, или двумерных кубов, содержится в четырехмерном кубе. Мы знаем, что в трехмерном кубе шесть двумерных кубов: по одному на каждую грань фигуры. Математическая задача, которая стоит перед читателем, — понять, сколько двумерных кубов в одном четырехмерном кубе.
Ответ можно получить, посчитав грани на двумерной проекции, которую мы показали ранее. У внутреннего куба шесть граней, у внешнего — еще шесть, а кроме того, есть двенадцать диагональных граней, что в сумме дает двадцать четыре. А теперь посчитайте число трехмерных кубов в гиперкубе.
* * *
Наглядное представление дополнительных измерений
Хотя мы и не можем оказаться в четырехмерном пространстве, каждое измерение которого представлено числом, в действительности мы видим мир в гораздо большем количестве измерений, чем три.
Так, мы различаем цвета, которые воспринимаем в зависимости от интенсивности зеленого, красного и голубого. Это означает, что нам нужно три дополнительных числа для представления каждой точки пространства, следовательно, мы видим в большем количестве измерений, чем три. Один из способов наглядно представить дополнительные измерения — это вообразить черно-белую шкалу и сопоставить окраску определенной интенсивности с каждым дополнительным измерением, которое нам потребуется. Так мы можем получить наглядное представление о пространствах, существующих только в мире математики.
Другой способ — представить число, парящее над объектом. Это число обозначает положение в четвертом измерении, в которое перемещается объект.
Измерения могут выражаться не только с помощью указания на положение точки. Например, для выражения температуры тоже необходимо число. Если мы говорим, что частица находится в некоторой точке, и ее температура равна двадцати семи градусам, на самом деле мы используем четыре измерения: три для пространства и одно для температуры. То же происходит, если говорить об интенсивности электромагнитного поля области или о влажности; для каждой из этих величин нам нужны новые числа, значит, мы увеличиваем размерность изучаемой системы.
Другой способ, помогающий наглядно представить пространства высокой размерности, связан, как ни странно, с сокращением количества измерений. Большинство движений, которые могут быть изучены, происходят на самом деле в двух измерениях: например, вращение Земли вокруг Солнца совершается по орбите в виде эллипса и может быть схематически отображено на бумаге без каких-либо затруднений. Таким образом, для представления движения нам нужно только два измерения, а третье мы можем использовать для других интересующих нас величин, таких как энергия или импульс. То есть мы можем использовать пространственные измерения для представления величин, никак не связанных с пространством.
