Положим, он надеется купить пятого козыря к своим четырём. Среди 22 не его карт 4 не его козыря. Значит, вероятность лежащей в прикупе карты быть козырем 4/22, а не быть им – 18/22.
Две карты лежат рядышком рубашкой кверху. Возможны четыре случая: та, что слева, – нужный ему козырь – раз, та, что справа, тоже козырь – два, обе карты козырные – три, нет в прикупе козырей – четыре. По теореме умножения вероятности этих событий равны: (4/22·18/22); (18/22·4/22); (4/22·4/22); (18/22·18/22), а это даёт 0,148; 0,148; 0,034; 0,670 (в сумме, разумеется, единица).
Какая карта слева, какая справа, игроку всё равно. Так что шанс у него на удачу равен 0,148 + 0,148 = 0,296, то есть почти 30 процентов. Как, стоит ему рисковать?
Есть такое выражение – «прикупная карта». Пусть у нашего «героя» на руках по три «сильные» карты трех мастей и одна карта из четвёртой масти, скажем, из пик. Достаточно ему приобрести одну любую (кроме пики), чтобы получилась выигрышная игра. Среди 22 не его карт 7 пиковой масти (у него одна), следовательно, вероятность пики 7/22, вероятность любой из карт других мастей – 15/22. Его погубит лишь один вариант – в прикупе 2 пики: вероятность этого случая (7/22), то есть около 0,1.
Значит, 90 процентов шансов за то, что его покупка будет удачной и ему есть смысл рисковать.
Я знал одного человека, который не очень любил трудиться. Если ему удавалось наскрести денег на билет в сторону «туда», он садился в поезд и отбывал на юг, в края неги и загара, имея в кармане несколько рублей. Насколько мне помнится, все эти путешествия кончались одинаково: он возвращался довольный, загорелый и даже потолстевший. Как же он устраивался? Очень просто: он играл в преферанс (а играл он безупречно). Это не значит, что он выигрывал каждую игру. Но любое назначение, любой его ход был оправдан вероятностным подсчётом, который он производил подсознательно, на основе своего богатейшего опыта. Когда его спросили, не боится ли он нарваться на игроков, которые играют не хуже его, он ответил, что садится играть только после того, как понаблюдает за игрой своих будущих жертв.
Как видите, случайностей карточного расклада он не боялся.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что в таких играх, как преферанс, много важнее правильно назначить игру (то есть в соответствии с теорией вероятностей); правильно выбрать тактику игры; играть столь совершенно, чтобы каждый ход был верным (то есть согласным с теорией вероятностей), нежели быть удачливым в прикупе или в раскладе карт у «вистующих» Значит, выигрыш в преферансе не зависит от случая? Нет, зачем такое крайнее суждение. Зависит. Но только тогда, когда партнёры одинаково хорошо или одинаково плохо играют. Поэтому, если Пётр Иванович и Николай Васильевич встречаются с одними и теми же равными им по умению партнёрами по субботам и проворачивают пару пулек, то результат такой игры за долгий срок обязательно будет нулевым. Случай вступит в свои права и уравняет выигрыши и проигрыши по той же причине, по которой Монте-Карло заканчивает свой рабочий день примерно равными числами «красного» и «чёрного».
Что же касается систематического выигрыша в такие игры, как преферанс, то он может быть лишь в том случае, если один игрок играет лучше другого. А «лучше» – это значит, что он сознательно или подсознательно правильно оценивает вероятность расклада карт, вероятность прикупа нужной карты и прочее.
Ещё одно воспоминание. Тоже порядочно лет назад мы отдыхали с одним из крупнейших физиков нашего века, Львом Давидовичем Ландау. Ландау, или, как мы его звали, Дау, в карты никогда не играл, и чувство азарта ему знакомо не было. Но как-то раз его уговорили принять участие в довольно глупой карточной игре, которая называется «Спекуляция». Банк в этой игре забирает тот, у кого на руках старший козырь. Все партнёры по очереди открывают свои карты. Допустим, открылась дама бубен: бубны козырь. Дама выиграет, если среди оставшихся, подлежащих открытию карт не окажется короля или туза бубен. Владелец дамы имеет право продать даму, а любой из партнёров купить её. Между ними начинается весёлая торговля. Даму покупают, а через две карты открывается король, и промахнувшегося покупателя подымают на смех. Нетрудно видеть, что цена, которую можно предложить за даму, может быть строго вычислена. Известно, сколько карт вышло, сколько остаётся нераскрытыми в колоде, следовательно, можно подсчитать вероятность появления короля и туза. Дау каждый раз проделывал эту работу. А так как считать надо очень быстро, то он был очень сосредоточен и смешно контрастировал с остальными игроками, которые делали из этой игры весёлую забаву. Разумеется, никто из нас не соразмерял цены карты с вероятностью того, что она будет перебита последующими картами. Все играли наобум, кроме Дау. К нашему удивлению, через час игры обнаружилось, что Дау в «солидном» выигрыше. Он был очень доволен.
При полной осведомлённости, то есть при правильной оценке вероятности события, сумма выигрышей и проигрышей будет стремиться к нулю. Так же как игрок в карты, знаток лошадей на бегах может обыграть других лиц только в том случае, если он оценивает вероятности события правильно, а они ошибаются.
В связи со сказанным интересно остановиться на заблуждении игроков на ипподроме. Им кажется, что хорошее знание лошадей есть залог успешной игры. Дело, однако, обстоит не так, и игрок, ничего не понимающий в лошадях, за долгий период игры придёт к такому же финансовому результату, что и знаток. А поскольку ипподром снимает существенный процент ставок, то этим результатом будет, конечно, проигрыш.
Такое положение дел возникает по той причине, что ставки на лошадей, грубо говоря, распределяются пропорционально вероятностям их выигрыша. Но сумма выплаты за выигравшую лошадь обратно пропорциональна вероятности выигрыша. Эта сумма определяется весьма просто: все сделанные ставки складываются и делятся на число билетов, поставленных на выигравшую лошадь.
Здесь полная аналогия с игрой в рулетку, когда сравнивается стратегия двух игроков, один из которых ставит только на «красное» и «чёрное», а другой только на «номера». У первого вероятность выигрыша равна 1/2, а у второго – 1/36. Первый будет выигрывать часто, но мало; второй редко, но большими суммами. В конечном счёте выигрывает зеро, то есть оба игрока проиграют.
Из сказанного следует, что вмешательство, даже самое маленькое, случайности уже делает единичное событие, строго говоря, непредсказуемым, а всю область явлений позволяет зачислить по ведомству проблемы вероятности. К этому важному заключению мы ещё вернёмся, когда вместо карт, рулетки и бегов займёмся поведением молекул.
Закон, найденный Бернулли
Вероятность того, что при случайном броске монета ляжет гербом кверху равняется 1/2. Значит, зная вероятность события, мы можем предсказать, что при стократном бросании монеты герб появится 50 раз? Не обязательно точно 50. Но что-нибудь около этого непременно.
Предсказания, использующие знание вероятности события, носят приблизительный характер, если число событий невелико. Однако эти предсказания становятся тем точнее, чем длиннее серия событий.
Заслуга этого открытия принадлежит Якову Бернулли (1654—1705). Он был замечательным исследователем. Конечно, и Галилей, и Паскаль, и другие мыслители, которые вводили вероятность как дробь, равную отношению благоприятных случаев к общему числу возможных вариантов, превосходно понимали, что на опыте предсказания комбинаторных подсчётов осуществляются приблизительно. Им было ясно, что число бросков, при которых монета ляжет гербом кверху, не равно в точности, а лишь близко к половине от общего числа бросков, а число бросков кубика, приводящих к шестёрке сверху, не равно в точности, а лишь близко к 1/6 от общего числа бросков. Но насколько близко, сказать они не могли. На этот вопрос ответ дал Яков Бернулли. Открытый им закон, который мы называем «законом больших чисел», лежит в основе статистической физики; без этого закона не могут обойтись статистики ни одной области знания.
