И вот они снова, более не милые безделушки викторианской эпохи, а увесистая отмычка к возможной Теории Всего. У нас тут октонионный мир, господа.
Глава 16
Искатели Истины и Красоты
Что же, Китс был прав? Красота есть истина, а истина — красота?
Эти два понятия тесно связаны, быть может, по той причине, что наш мозг примерно одинаково реагирует на каждое. Но то, что работает в математике, не обязано работать в физике, и наоборот. Отношения между математикой и физикой глубоки, деликатны и головоломны. Философская головоломка высшего рода — как наука открыла так называемые «законы» природы и почему природа вроде бы говорит на языке математики.
Поистине ли вселенная в природе своей математическая? Не являются ли ее видимые математические черты всего лишь изобретением человека? Или же она кажется нам математической потому, что математика — самый глубинный аспект ее бесконечно сложной природы, который доступен нашему уму?
Математика — это не некоторый развоплощенный вариант окончательной истины, как полагают некоторые. Если из нашего рассказа что-то и следует, так это что математику создают люди. Нас трогают их радости и их горе. Кто остался бы равнодушным к ужасным смертям Абеля и Галуа, ведь оба они умерли в возрасте 21 года? Один из них был объектом глубокой любви, но не располагал достаточными для женитьбы средствами; другой же, блестящий, но неуравновешенный молодой человек, влюбился, но был отвергнут и умер, быть может, из-за этой любви. Успехи современной медицины спасли бы Абеля и даже помогли бы Гамильтону сохранять трезвость.
Поскольку математики — живые люди, живущие обычной человеческой жизнью, создание новой математики является частью общественных процессов. Однако ни математика, ни наука в целом не есть исключительно результат общественных процессов, как то нередко утверждают обществоведы-релятивисты. В каждом случае требуется удовлетворить некоторым внешним требованиям — требованиям логики в случае математики, требованиям эксперимента в случае наук. Сколь отчаянно математики ни желали бы разделить угол на три части эвклидовыми методами, голый факт состоит в том, что это невозможно. Сколь бы сильно физики ни желали вывести из ньютоновского закона гравитации окончательное описание вселенной, движение перигелия Меркурия доказывает, что это невозможно.
Вот почему математики столь упрямо следуют логике, крайне беспокоясь при этом о вещах, до которых большинству людей просто нет дела. А важно ли в самом деле, можно или нельзя разрешить уравнение пятой степени в радикалах?
Приговор истории по этому вопросу не допускает толкований. Это — важно. Не так уж, возможно, важно для повседневной жизни, но, без всякого сомнения, важно для человечества в целом — не потому, что нечто важное основано на нашей способности решить уравнение пятой степени, а потому, что понимание причин, по которым это невозможно, открывает тайную дверь в новый математический мир. Если бы Галуа и его предшественники не были одержимы задачей найти условия, при которых уравнение можно решить в радикалах, открытие человечеством теории групп сильно задержалось бы, а возможно, его никогда бы и не произошло.
Вы не обязательно встречаетесь с группами у себя на кухне или во время поездки на работу, и тем не менее без них современная наука оказалась бы серьезно урезанной, а наша жизнь — устроенной в сильной степени по-другому. Не столько в отношении таких штук, как широкофюзеляжные реактивные лайнеры, или GPS-навигаторы, или даже мобильные телефоны — хотя и их это касается, — сколько в отношении нашего понимания природы. Никто не смог бы предсказать, что занудный вопрос об уравнениях прояснит глубокую структуру физического мира, однако именно так и случилось.
История посылает нам столь же простой, сколь и ясный сигнал. Исследование глубоких математических вопросов не следует отвергать или умалять только на том основании, что эти вопросы не обещают прямых практических применений. Ценность хорошей математики выше, чем у золота, и по большей части неважно, откуда она взялась. Что важно, так это куда она нас ведет.
Потрясающая вещь состоит в том, что математика высшего уровня обычно приводит к чему-то неожиданному, причем значительная ее часть оказывается актуальной для науки и технологии, пусть даже исходно изобретение совершалось для каких-то совершенно иных целей. Эллипс, который греки изучали как коническое сечение, оказался той путеводной нитью, которая привела стопами Кеплера, основывавшегося на наблюдениях Тихо Браге за движением Марса, к ньютоновской теории гравитации. Теория матриц, за бесполезность которой извинялся ее изобретатель Кэли, стала неотъемлемым инструментом в статистике, экономике и едва ли не в каждом отделе науки. Октонионы могут сыграть роль вдохновителей Теории Всего. Разумеется, теория суперструн может оказаться всего лишь симпатичным фрагментом математики, не имеющим связи с физикой. Если и так, то существующие применения симметрии в квантовой теории все равно демонстрируют, что теория групп позволяет нам глубоко проникнуть в природу вещей, несмотря на то что создавалась она для ответа на некий вопрос в рамках чистой математики.
Почему математика столь полезна для целей, ни в коей мере не предусмотренных ее изобретателями?
Греческий философ Платон говорил, что «Бог во всем геометр». Ему вторил Галилей: «Великая книга Природы написана на языке математики». Иоганн Кеплер задался целью обнаружить математические закономерности в орбитах планет. Часть из его изысканий привела Ньютона к его закону гравитации, другая же часть оказалась мистической чепухой.
Многие современные физики отмечали потрясающую мощь математического мышления. Вигнер говорил о «непостижимой эффективности математики» в деле познания природы; эта фраза фигурирует в заглавии статьи, написанной им в 1960 году. Он пишет, что в статье рассматриваются два основных вопроса:
Первое — это то обстоятельство, что колоссальная эффективность математики в естественных науках граничит до некоторой степени с мистикой и что этому нет никакого рационального объяснения. Второе — это то, что именно эта сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий.
И еще:
Математический язык удивительно приспособлен для формулировки физических законов — это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему им пользоваться. Мы думаем, что сфера его применимости, хорошо это или плохо, будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.
Поль Дирак полагал, что законы природы должны быть не только математическими, но еще и красивыми. Красота и истина были для него двумя сторонами одной монеты, и математическая красота в сильной степени подсказывала физическую истину. Он даже зашел столь далеко, что говорил, будто предпочтет прекрасную теорию правильной и что красота представляет большую ценность, нежели простота: «Исследователь в своих усилиях выразить фундаментальные законы природы в математическом виде должен главным образом стремиться к математической красоте. Он также должен принимать во внимание и простоту, но в подчинении у красоты… Там же, где они вступают в конфликт, следует отдавать предпочтение красоте».
Интересно, что дираковская концепция математической красоты значительно отличалась от той, которую разделяют большинство математиков. Она не включала в себя логическую строгость, и многие шаги в его работах содержали логические скачки — больше всего известен пример его «дельта-функции», обладающей внутренне противоречивыми свойствами. Тем не менее он весьма эффективно использовал эту «функцию», и в конце концов математики дали строгую формулировку его идеи, после чего она и в самом деле стала частью прекрасного.
