Натянутая веревка соответствует кратчайшему пути между двумя точками.
На интуитивном уровне можно сформулировать следующее доказательство. Допустим, даны две точки на сфере, и мы хотим найти кривую, которая определяет кратчайший путь между ними. Кажется логичным предположить, что мы можем ограничиться рассмотрением окружностей сферы, которые проходят через эти точки и образуются сечением сферы плоскостями, проходящими через две данные точки. Кроме того, в силу свойств симметрии, четко видно, что дуга окружности, полученной сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы, соответствует кратчайшему пути между точками, что показано на предыдущем рисунке. В итоге большие круги являются геодезическими линиями сферы, или кривыми, указывающими наименьшее расстояние.
Дуга большого круга, заключенная между между двумя точками, имеет наименьшую длину среди всех дуг окружностей, соединяющих данные точки.
* * *
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КУПОЛА
Одно из самых впечатляющих сооружений сферической формы, созданных в XX веке, — это геодезические купола Ричарда Бакминстера Фуллера (1895–1983). Мы могли бы многое сказать об этом гениальном изобретателе, архитекторе, инженере, математике, поэте и космологе, провидце, который опередил свое время и смог поставить науку и технику на службу обществу. Величайшим его творением, несомненно, являются геодезические купола.
Американский павильон на Всемирной выставке 1967 года в Монреале, построенный по проекту Ричарда Бакминстера Фуллера. Позднее в павильоне разместился музей воды и окружающей среды
(фотография: Филипп Хайнсторфер).
Геодезический купол — это сферическая структура, образованная сеткой больших кругов (геодезических линий). Треугольники, из которых состоит сетка, придают структуре жесткость. Для построения классического геодезического купола рассматривается икосаэдр, вписанный в сферу, как показано на иллюстрации. Затем каждая грань икосаэдра делится на треугольники, которые проецируются на сферу, образуя сетку геодезических линий.
Преимущества геодезического купола следующие.
1. Он покрывает обширное пространство и не требует поддерживающих конструкций в середине.
2. Для геодезического купола характерно оптимальное соотношение объема к площади поверхности, иными словами, он покрывает пространство максимального объема при наименьшей площади поверхности.
3. Пространство внутри купола нетрудно обогревать, так как потери тепла зависят от соотношения между объемом и площадью поверхности, которое является оптимальным.
4. Геодезические купола благодаря своей структуре и распределению нагрузки обладают высокой жесткостью.
5. Геодезические купола имеют малый вес и просты в сборке.
* * *
Кривизна больших кругов
Прямые также можно определить как кривые, обладающие нулевой кривизной. Можно ли дать похожее определение большим кругам сферы? Кажется очевидным, что окружность, будучи плоской кривой, имеет одинаковую кривизну во всех точках, и эта кривизна ненулевая. Кроме того, чем больше радиус окружности, тем более вытянутой она будет, и тем меньше будет ее кривизна (см. иллюстрацию на следующей странице). Геометрически кривизна окружности радиуса r равна 1/r. Следовательно, чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. Изменение кривизны окружности в зависимости от ее радиуса можно почувствовать, если проехать на велосипеде по кругу: в зависимости от радиуса круга нужно будет поворачивать руль на больший или меньший угол. Когда мы не поворачиваем руль, велосипед движется по «прямой», то есть по большому кругу, имеющему наименьшую кривизну. Следовательно, большие круги имеют наименьшую кривизну, а их радиус будет наибольшим.
Чем больше радиус окружности r, тем меньше ее кривизна k.
В действительности геометры определили новую величину, которую можно назвать кривизной кривой на заданной поверхности. Это так называемая геодезическая кривизна, которая указывает степень кривизны кривой на поверхности, которой она принадлежит. В качестве окружающего пространства рассматривается именно эта поверхность, а не трехмерное пространство.
Геодезическая кривизна геодезических линий, в частности больших кругов сферы, равна нулю, что является обобщением кривизны прямой на плоскости.
Глава 4
В поисках правильной карты Земли
Примерно две тысячи лет назад для изображения круглой Земли на плоскости пришлось решить различные математические, философские и географические задачи, которые привлекли внимание многих изобретателей.
Разумеется, первые карты появились намного раньше.
Современная картография развивалась медленными темпами, так как исследование разных уголков Земли началось, по историческим меркам, сравнительно недавно.
Джон Снайдер «Как Земля стала плоской» (1993)
Картография — это наука, изучающая графическое изображение Земли и ее частей, а также других небесных тел. В картографии главным образом рассматриваются карты, а также рельефные модели и глобусы. В эру компьютеров и интернета карты и глобусы могут быть очень сложными, интерактивными, созданными с помощью новых способов изображения земной поверхности.
Карты выполняют две основные функции: они используются для хранения и представления полезной географической информации, а также помогают понять пространственные соотношения и осознать всю сложность мира, в котором мы живем.
Картография делится на три основные части. Первая — это сбор, анализ и обработка географической информации, которая затем используется при составлении карт. Источниками географической информации обычно служат: наблюдения в поле (традиционный источник информации на протяжении всей истории картографии, применяющийся до сих пор), данные аэрофотосъемки и космической съемки со спутников (фотографии, данные, полученные с помощью радаров и датчиков), уже существующие карты и базы данных, а также статистические данные.
Вторая часть картографии — математическая картография. Она занимается изучением проекций, то есть геометрических и математических преобразований, позволяющих изобразить искривленную земную поверхность на плоскости. Именно проекции определяют, какую форму будут иметь страны и континенты на картах. Термин «математическая картография» имеет очень широкое значение. Если говорить коротко, то математическая картография занимается формированием и изучением математических основ составления карт, а также охватывает теоретические и практические вопросы в смежных научных дисциплинах: уже упомянутой картографии, геодезии, географии, навигации и других науках. Один из важнейших инструментов математической картографии — дифференциальная геометрия.
Основной задачей картографии является изучение проекций. В этой главе мы подробнее расскажем о проекциях, лежащих в основе карт. Мы приведем их классификацию по форме построения, геометрическим свойствам, изучим характерные особенности, в частности искажения, возникающие при использовании разных проекций, а также рассмотрим основные результаты математической картографии и их применение при составлении реальных карт.
Третья и последняя часть картографии — это дизайн и составление карт. Традиционно карты имеют бумажную основу. В прошлом они рисовались вручную, позднее, с изобретением книгопечатания, стали изготавливаться печатным способом, и качество карт неуклонно возрастало. Сегодня благодаря новым технологиям стало возможным публиковать цифровые карты и карты других форматов. Любой, кто работает с такой картой, может не просто пассивно получать информацию, но и взаимодействовать с ней и даже принимать участие в ее создании.
Еще две важные части картографии — это история картографии, а также изучение способов применения карт. Изучение истории карт помогает лучше разобраться в них, осознать их роль в истории человечества и понять, как выглядел мир в разные времена для разных народов. Не следует забывать, что зная прошлое, мы сможем понять будущее и сделать его лучше. Наконец, изучение способов применения карт позволяет сделать их намного эффективнее, создавать новые методы, новые проекции, которые помогут решить текущие задачи.
Что такое «правильная» карта
В ходе истории картографы и математики работали над созданием совершенной карты, стремясь найти такую проекцию земной поверхности на плоскость, которая позволила бы составить наиболее точную карту нашей планеты. В этой главе мы вновь рассмотрим вопросы, перечисленные в предисловии. Их можно свести к одному, главному вопросу: как составить правильную карту Земли? Однако вначале следует выяснить, какую карту можно считать «правильной».
