u3v3 = - p3/27; u3 + v3 = - q.
А теперь скажите, юноша, как бы вы дальше поступили с этими уравнениями? Отвечайте, куда они просятся?
- В квадратное уравнение! - вдруг выпалил почти в отчаянии Илюша. - Сумма и произведение даны, значит, это квадратное уравнение... по теореме Виеты.
- Очень хорошо! - отозвался Мнимий. - Так вот: теперь должно быть ясно, что болонцы действительно напали на очень счастливую мысль. Разумеется, им не удалось свести кубическое уравнение к линейному (то есть первой степени), как сводили квадратное, но ведь этого и ожидать было бы странно, ибо куб все-таки постарше квадрата и, конечно, поупрямей его! Но вы должны еще иметь в виду, что открытие этого решения кубического уравнения в Италии шестнадцатого века было поистине важным историческим событием! Оно означало, что новая Европа вышла на новый рубеж, она уже освоила наследие древних ученых и теперь сама делает недоступные для древности открытия. Общественные условия настолько изменились, что возникла возможность для новой науки. Разумеется, ученый работает прежде всего в интересах науки. Но он может работать для ее развития только тогда, когда общество, в котором он живет, поддерживает его, другими словами, когда люди верят в необходимость его трудов.
Мы уже говорили с вами, как бились древние греки с двоекубием, то есть задачей удвоить куб. И как мы увидим далее, задача трисекции угла тоже сводится к кубическому уравнению. Но так или иначе болонцы все-таки степень кубического уравнения на единицу понизили, а это облегчило задачу - квадратные уравнения мы решать умеем!
- Вавилоняне догадались, - заметил Радикс, - да и нас научили.
- 434 -
- И теперь уже мы можем составить окончательное уравнение, которое будет:
t2 + qt - p3/27 = 0
Одно значение корня этого уравнения даст u3, а другое v3.
Решим это уравнение!
Илюша схватил мел и сразу написал:
- Вот-вот, - поддакнул Мнимий, - совершенно правильно.
На пятерку! Но теперь, поскольку мы знаем, что у - и + v, пишите уж и самое решение.
И наш герой написал следующее:
- Ну вот, - произнес Мнимий, - и появилась эта знаменитая формула Кардана для решения кубического уравнения.
- Так, - сказал Илюша, любуясь своим произведением, -< это я теперь как будто сообразил. Но при чем же тут мнимые человечки?
- А-а-а, - важно протянул Мнимий, - вот вас что интересует! Ну что же? Мы постараемся приподнять завесу этой трудной научной тайны.
- Жаль, что в науке есть еще тайны!
- Н-да... - протяпул Мнимий. - В общем, конечно, досадно. Но ведь эти тайны исходят не от науки, они, скорее, принадлежат природе. Человек начинает с самого простого, а затем идет все дальше, все время углубляет свои знания, раскрывает тайну за тайной, похищая их у Природы! И вот вы сами видите в наши дни, как увеличивается могущество человека. А те тайны науки, о которых вы сокрушаетесь, - это уж не совсем тайны, это ее трудности, но опыт показывает, что их можно одолеть. Вы могли видеть сами на примере решения кубического уравнения, как осторожное расширение способа двучленного уравнения позволяет добиться новых результатов. Трудность основная в том, что при всяком таком расширении области, где применяется данный способ, дело усложняется новыми обстоятельствами и обычно такими, которые ранее невозможно было не только предвидеть, но даже и представить себе.
- 435 -
С развитием науки приходится решать более сложные и запутанные задачи. К примеру: обычное уравнение имеет одно решение; квадратное уже дает два, причем бывает, что оба имеют смысл самый простой, а случается и другое!
А кубическое уравнение, вообще говоря, должно давать три решения, но, даже и получив все элементы, из которых легко составить эти решения, надо еще сперва сообразить, как их составлять. Мы недавно любовались на график квадратного уравнения, но ведь график кубического уравнения, то есть кубической параболы, гораздо сложнее и все случаи решения кубического уравнения много хитрее. Кубическое уравнение может иметь три действительных корня, либо один действительный и два комплексных корня. Переходя к графику, мы видим, что кубическая парабола может иметь различные формы: 1) парабола пересекает ось абсцисс однажды (все три действительных корня равны друг ДРУГУ); 2) парабола пересекает ось абсцисс однажды и однажды ее касается (три действительных корня, причем два из них равны друг другу); 3) парабола пересекает ось абсцисс трижды (три разных действительных корня); 4) парабола пересекает ось абсцисс однажды, а кроме того, у нее имеются еще два сопряженных комплексных корня.
- По-моему, я такую параболу видел, - вспомнил Илюша, - в Схолии Шестнадцатой, там еще была и такая, которая у вас здесь под номером третьим.
- Это верно, - подтвердил Радикс, - так и было.
- В этом последнем случае, значит, - продолжал Илюша, - эти комплексные корни будут: один а + bi, а другой, ему сопряженный, а - bi.
- Конечно, - подтвердил Мнимий. - Но ведь это еще отнюдь не все. Самое удивительное качество решения кубического уравнения, которое крайне поразило алгебраистов шестнадцатого века, заключается в том, что иногда попадается такое кубическое уравнение, что если мы станем решать его по Кардановой формуле, то, невзирая на то что все три корня его вещественны, формула Кардана выражает эти корни мнимыми радикалам и, и можно доказать, что ничего иного из формулы Кардана вообще получить невозможно.
То есть истинное решение словно прячется за мнимостями! Это тот случай, который Кардаи называл "неприводимым" (Кардан уже знал, что у кубического уравнения три корня). Тут болонские алгебраисты впервые убедились, что наши мнимые человечки действительно существуют, активно участвуют в алгебраических построениях и при решении самой вещественной задачи невозможно обойтись без того, чтобы с ними не встретиться. Тут надо вот что еще иметь в виду: обычные числа человек придумал для счета.
- 436 -
Всякого рода задачи, которые пришлось решать, привели неизбежно к понятию различных математических образов, которые получаются по крайней мерс; из пары чисел, как, например, сумма, разность, произведение, частное или дробь. А затем уже пошли еще более сложные построения, как и мы, мнимые человечки, которые выросли из задач, связанных с квадратным уравнением. Счет - одно, а расчет - другое! Но именно для того, чтобы наши расчеты не противоречили простому счету, чтобы правильность счета нигде и никогда не нарушалась, и приходится вводить такие сложные и хитрые построения, где из пары чисел получается одно особенное число. Но ведь зато и результаты получаются обширные и замечательные! Однако самая суть дела в том, что кубическое уравнение с его необычайными сложностями заставило математиков понять, что мы, мнимые хитроумные человечки (от которых до той поры, встречаясь с нами в квадратных уравнениях, просто отмахивались!), вовсе не случайные призраки, а самые настоящие граждане и деятели математического мира!
- Все-таки трудно... - признался Илюша.
- Разумеется, не очень просто, - согласился Мнимий. - Но вы подумайте еще о том, что в те времена все это было еще трудней, потому что нашей удобной алгебры с буквенными знаками еще не существовало. Тарталья, кстати сказать, изложил формулу Кардана в стихах, а потребовалось ему для этого двадцать пять строк!
- Ого, - отозвался Илюша, - целая поэма!
- Вот именно. И что было делать с этой формулой, как рассудить о ее странностях, долгое время не знали. Пока кубическое уравнение таково, что у него только один действительный корень, выражение под квадратным корнем
(q/2)2 + (p/3)3
больше нуля, и тогда вычисления не так трудны. Но в другом случае - и как будто в самом простом, ибо тогда все три корня действительны! - это выражение становится меньше нуля, и как быть с формулой, неясно. Только через четверть века Рафаэль Бомбелли, последователь Кардана, нашел выход из положения. Начал он, как нередко в таких случаях бывает, с частного случая, с численного примера. Он взял такое кубическое уравнение:
x3 - 15x = 4
Решить его ничего не стоит без всякой формулы... Как вы скажете?
- 437 -
Илюша в ужасе уставился на уравнение. Наконец еле выдавил из себя:
- Четыре в квадрате - шестнадцать, а здесь пятнадцать, а четыре в кубе - шестьдесят четыре... Мне кажется, что решение равно четырем, потому что:
64 - 15•4 = 64 - 60 = 4.
- Вы совершенно правы! - весело воскликнул Мнимий. - Как видите, решить совсем нетрудно. А теперь попробуйте с формулой Кардана. И тотчас получается:
Как тут быть, неизвестно. Из ( + 121), конечно, квадратный корень извлечь небольшая хитрость, но ведь здесь минус.
Однако попробуем переписать теперь это по-нашему:
Из этого выражения Бомбелли получил (как мы теперь пишем!) такие равенства:
