My-library.info
Все категории

Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис

На электронном книжном портале my-library.info можно читать бесплатно книги онлайн без регистрации, в том числе Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис. Жанр: Математика год 2004. В онлайн доступе вы получите полную версию книги с кратким содержанием для ознакомления, сможете читать аннотацию к книге (предисловие), увидеть рецензии тех, кто произведение уже прочитал и их экспертное мнение о прочитанном.
Кроме того, в библиотеке онлайн my-library.info вы найдете много новинок, которые заслуживают вашего внимания.

Название:
Математика. Утрата определенности.
Дата добавления:
17 сентябрь 2020
Количество просмотров:
153
Читать онлайн
Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис

Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис краткое содержание

Математика. Утрата определенности. - Клайн Морис - описание и краткое содержание, автор Клайн Морис, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки My-Library.Info

Книга известного американского математика, профессора Нью-Йоркского университета М. Клайна, в яркой и увлекательной форме рисующая широкую картину развития и становления математики от античных времен до наших дней. Рассказывает о сущности математической науки и ее месте в современном мире.

Рассчитана на достаточно широкий круг читателей с общенаучными интересами.

Математика. Утрата определенности. читать онлайн бесплатно

Математика. Утрата определенности. - читать книгу онлайн бесплатно, автор Клайн Морис

Свои взгляды на логику бурбакисты выразили в статье, опубликованной в Journal of Symbolic Logic(1949): «Иначе говоря, логика, если говорить о математиках, представляет собой не больше и не меньше, как грамматику языка, которым мы пользуемся, языка, который должен был существовать еще до того, как могла быть построена грамматика». Последующее развитие математики может потребовать новых модификаций логики. Так случилось с введением бесконечных множеств и, как мы увидим при обсуждении нестандартного анализа (гл. XIII), будет происходить в дальнейшем. Школа Бурбаки отвергла Фреге, Рассела, Брауэра и Гильберта. Ее представители используют аксиому выбора и закон исключенного третьего, хотя выводят его с помощью приема, предложенного Гильбертом. Группу Бурбаки не заботит проблема непротиворечивости. По поводу нее бурбакисты утверждают: «Мы просто отмечаем, что все эти трудности могут быть преодолены способом, позволяющим избежать всех возражений и не оставляющим сомнений в правильности рассуждений». Противоречия возникали в прошлом, и каждый раз их удавалось успешно разрешить. То же будет происходить и впредь. «Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно» ([2], с. 30). Бурбаки выпустил около тридцати томов «Элементов математики», построенных на основе теоретико-множественного подхода. {133}

Итак, к тридцатым годам XX в. сложились четыре различных, так или иначе конфликтующих подхода к математике, и сторонники различных направлений, не будет преувеличением сказать, вели между собой ожесточенную борьбу. Никто не мог более утверждать, что такая-то и такая-то теорема доказана правильно: в 30-е годы непременно следовало пояснить, каким стандартам правильности удовлетворяет данное доказательство. Проблема непротиворечивости математики — основная проблема, стимулировавшая появление и развитие не одного нового подхода, — не ставилась совсем (исключение, быть может, составляют интунционисты, считавшие, что человеческая интуиция служит надежной гарантией непротиворечивости).

Та самая наука, которая в начале XIX в., несмотря на все зигзаги логического развития, была провозглашена совершеннейшей из наук, та самая наука, в которой теоремы доказывались с помощью неопровержимых, безупречных рассуждений, та самая наука, утверждения которой были не только неопровержимыми, но и считались истинами об окружающем нас мире и, по мнению некоторых, остались бы истинами в любом из возможных миров, не только отказалась от всяческих притязаний на истину, но и запятнала себя конфликтами между различными школами в основаниях и взаимоисключающими утверждениями о правильных принципах логики. Гордость человеческого разума была глубоко уязвлена.

Положение, сложившееся в 30-е годы, красочно описал математик Эрик Темпл Белл:

Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения… Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.

Что могла ожидать математика от будущего? Как мы увидим, будущее принесло множество новых, не менее серьезных проблем.

XII

Бедствия

Жарко, жарко, пламя ярко!

Хороша в котле заварка! {134}

Вильям Шекспир, Макбет
Математика. Утрата определенности. - i_051.jpg

Оглядываясь назад, можно сказать, что состояние оснований математики в 30-е годы XX в. было вполне удовлетворительным. Парадоксы были разрешены, хотя каждая из школ в основаниях математики решала их по-своему. Правда, не существовало единого мнения относительно того, какую математику надлежит считать правильной, но каждый математик мог выбрать подход, наиболее отвечающий его вкусам, и действовать в соответствии с принципами, которых придерживались сторонники данного направления.

Однако две проблемы продолжали беспокоить математиков. Первой, и главной, была проблема доказательства непротиворечивости математики —та проблема, которую в 1900 г. поставил в своем докладе на II Международном математическом конгрессе в Париже Гильберт. Хотя известные парадоксы были разрешены, опасность возникновения в будущем новых парадоксов по-прежнему существовала. Вторая проблема, не дававшая покоя математикам, была связана с так называемой полнотойаксиоматических систем. Говоря кратко, полнота системы аксиом, описывающих какую-либо область математики, означает в известном смысле адекватность этой аксиоматики тому разделу науки, который с ее помощью задается, т.е. означает возможность доказать на основе принятой системы аксиом истинность или ложность любого осмысленного утверждения, содержащего понятия рассматриваемой области математики.

На самом элементарном уровне проблема полноты сводится к вопросу о том, можно ли на основании аксиом Евклида доказать (или опровергнуть), например, разумную гипотезу о том, что в евклидовой геометрии высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. На более высоком уровне (в области кардинальных трансфинитных чисел) проблему полноты иллюстрирует гипотеза континуума (гл. IX). Полнота аксиоматической системы требует, чтобы с помощью аксиом теории множеств гипотезу континуума можно было или доказать, или опровергнуть. Полнота аксиоматики арифметики (теории чисел) требует, чтобы с помощью аксиом теории чисел (т.е. аксиом, задающих множество натуральных чисел) можно было либо доказать, либо опровергнуть гипотезу Гольдбаха, согласно которой каждое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Пока мы не знаем, верна эта гипотеза или не верна, но если аксиоматика арифметики полна, то она либо верна, либо не верна — третьего исхода нет. Проблема полноты затрагивает также множество других утверждений, которые на протяжении десятилетий и даже веков математикам не удавалось ни доказать, ни опровергнуть.

Представители различных направлений в основаниях математики по-разному относились к проблемам непротиворечивости и полноты. Рассел перестал считать абсолютными истинами логические аксиомы логицистов и признал, что введенная им аксиома сводимости (гл. X) носит искусственный характер. Развитая Расселом теория типов позволила избежать известных парадоксов, и он полагал, что названная теория даст возможность разрешить и новые парадоксы, которые могут возникнуть в будущем. Но одно дело — субъективная уверенность и совсем иное — доказательство. Решить проблему полноты Расселу так и не удалось, несмотря на все его усилия.

Представители теоретико-множественного направления были убеждены в том, что их подход не приводит к новым противоречиям, однако доказать это они не могли. Проблема полноты была не единственной, и даже не главной, их заботой. Интуиционисты также довольно безразлично относились к проблеме непротиворечивости. Они считали, что интуитивные представления непротиворечивы по самой своей природе. Формальное доказательство, по их мнению, не требовалось и даже вообще было неуместным в рамках их философии. Что же касается полноты, то, по мнению интуиционистов, человеческая интуиция достаточно сильна, чтобы распознать истинность или ложность почти любого осмысленного утверждения, хотя некоторые утверждения могут оказаться неразрешимыми.

Однако формалисты во главе с Гильбертом не были настроены столь благодушно. Предприняв некоторые, весьма ограниченные, попытки решить проблему непротиворечивости в первые годы XX в., Гильберт вернулся к этой проблеме и к проблеме полноты в 1920 г.


Клайн Морис читать все книги автора по порядку

Клайн Морис - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки My-Library.Info.


Математика. Утрата определенности. отзывы

Отзывы читателей о книге Математика. Утрата определенности., автор: Клайн Морис. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.

Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*
Подтвердите что вы не робот:*
Все материалы на сайте размещаются его пользователями.
Администратор сайта не несёт ответственности за действия пользователей сайта..
Вы можете направить вашу жалобу на почту librarybook.ru@gmail.com или заполнить форму обратной связи.