4a. Кинетика. Теплота. Звук
Глава 46
ХРАПОВИК И СОБАЧКА
§ 1. Как действует храповик
§ 2. Храповик как машина
§ 3. Обратимость в механике
§ 4. Необратимость
§ 5. Порядок и энтропия
§ 1. Как действует храповик
В этой главе мы поговорим о храповике и собачке — очень простом устройстве, позволяющем оси вращаться только в одном направлении. Возможность получать одностороннее вращение заслуживает глубокого и тщательного анализа, из него проистекут интересные заключения.
Вопросы, которые мы будем обсуждать, возникают при попытке найти с молекулярной или кинетической точки зрения простое объяснение тому, что существует предел работы, которая может быть получена от тепловой машины. Правда, мы уже знаем сущность доказательства Карно, но было бы приятно найти и элементарное его объяснение — такое, которое показало бы, что так физически на самом деле происходит. Существуют, конечно, сложные, покоящиеся на законах Ньютона математические доказательства ограниченности количества работы, которое можно получить, когда тепло перетекает с одного места в другое; но очень непросто сделать эти доказательства элементарными. Короче говоря, мы не понимаем их, хотя можем проследить выкладки.
В доказательстве Карно то обстоятельство, что при переходе от одной температуры к другой нельзя извлечь неограниченное количество тепла, следует из другой аксиомы: если все происходит при одной температуре, то тепло не может быть превращено в работу посредством циклического процесса. Поэтому первым делом попытаемся понять, хотя бы на одном элементарном примере, почему верно это более простое утверждение.
Попробуем придумать такое устройство, чтобы второй закон термодинамики нарушался, т. е. чтобы работу из теплового резервуара получали, а перепада температур не было. Пусть в сосуде находится газ при некоторой температуре, а внутри имеется вертушка (фиг. 46.1), причем будем считать, что T1=T2=T.
Фиг. 46.1. Машина, состоящая из храповика и собачки.
От ударов молекул газа вертушка будет покачиваться. Нам остается лишь пристроить к другому концу оси колесико, которое может вертеться только в одну сторону,— храповичок с собачкой. Собачка пресечет попытки вертушки поворачиваться в одну сторону, а повороты в другую—разрешит. Колесико будет медленно поворачиваться; может быть, удастся даже подвесить на ниточку блошку, привязать нить к барабану, насаженному на ось, и поднять эту блошку!
Возможно ли это? По гипотезе Карно — нет. Но по первому впечатлению — очень даже возможно (если только мы верно рассудили). Видно, надо посмотреть повнимательнее. И действительно, если вдумаешься в работу храповика с собачкой, все оказывается не так просто.
Во-первых, хотя наш идеализированный храповик и предельно прост, но есть еще собачка, а при ней положено быть пружинке. Проскочив очередной зубец, собачка должна возвратиться в прежнее положение, так что без пружинки не обойтись.
Весьма существенно и другое свойство храповика и собачки (на рисунке его нельзя показать). Предположим, что части нашего устройства идеально упруги. Когда собачка пройдет через конец зубца и сработает пружинка, собачка ударится о колесико и начнет подпрыгивать. Если в это время произойдет очередная флуктуация, вертушка может повернуться и в другую сторону, так как зубец может проскользнуть под собачкой, когда та приподнята! Значит, для необратимости вертушки важно, чтобы было устройство, способное гасить прыжки собачки. Но при этом гашении энергия собачки перейдет к храповику и примет вид тепловой энергии. Выходит, что по мере вращения храповик будет все сильнее нагреваться. Для простоты пусть газ вокруг храповика уносит часть тепла. Во всяком случае, вместе с храповиком начнет нагреваться и сам газ. И что же, так будет продолжаться вечно? Нет! Собачка и храповик, сами обладая некоторой температурой Т, подвержены также и броуновскому движению. Это значит, что время от времени собачка случайно поднимается и проходит мимо зубца как раз в тот момент, когда броуновское движение вертушки пытается повернуть ее назад. И чем горячее предмет, тем чаще это бывает.
Вот отчего наш механизм не будет находиться в вечном движении. Иногда от щелчков по крыльям вертушки собачка поднимается и вертушка поворачивается. Но иногда, когда вертушка стремится повернуть назад, собачка оказывается уже приподнятой (из-за флуктуации движений этого конца оси) и храповик действительно поворачивает обратно. В итоге—чистый нуль. И совсем нетрудно показать, что, когда температура в обоих сосудах одинакова, в среднем вращения не будет. Будет, конечно, множество поворотов в ту или иную сторону, но чего мы хотим — одностороннего вращения,— тому не бывать.
Рассмотрим причину этого. Чтобы поднять собачку до верха зубца, надо проделать работу против натяжения пружинки. Назовем эту работу e; пусть q — угол между зубцами. Шанс, что система накопит достаточно энергии e, чтобы поднять собачку до края зубца, есть ехр(-e/kT). Но вероятность того, что собачка поднимется случайно, тоже есть ехр(-e/kT). Значит, сколько раз собачка случайно поднимется, давая храповику свободно повернуться назад, столько же раз окажется достаточно энергии, чтобы при прижатой собачке вертушка повернулась вперед. Выйдет равновесие, а не вращение.
§ 2. Храповик как машина
Пойдем дальше. Рассмотрим другой пример: температура вертушки T1, а температура храповика Т2; T2меньше Т1. Так как храповик холодный и флуктуации собачки сравнительно редки, ей теперь очень трудно раздобыть энергию e. Но из-за того, что вертушка горячая, она часто получает энергию e, и наше устройство начнет, как и задумано, вертеться в одну сторону.
Посмотрим-ка, удастся ли нам теперь поднимать грузы. Привяжем к барабану нить и привесим к ней грузик вроде нашей блошки. Пусть L будет момент, создаваемый грузом. Если момент L не очень велик, наша машина груз поднимет, так как из-за броуновских флуктуации повороты в одну сторону вероятнее, чем в другую. Определим, какой вес мы сможем поднять, как быстро он будет подниматься и т. д.
Сперва рассмотрим движение вперед, для которого храповик и предназначен. Сколько энергии нужно занять у вертушки, чтобы продвинуться на шаг? Чтобы поднять собачку, нужна энергия e. Чтобы повернуть храповик на угол q против момента L, нужна энергия Lq. Всего нужно занять энергию e+Lq. Вероятность заполучить ее равна ехр[-(e+Lq)/kT1. В действительности дело не только в самой этой энергии, но и в том, сколько, раз в секунду она окажется в нашем распоряжении. Вероятность в секунду только пропорциональна ехр[-(e+Lq)/kT1]; обозначим коэффициент пропорциональности 1/t (он в конце выкладок выпадет). После каждого шага вперед совершенная над грузом работа есть Lq. Энергия, взятая у вертушки, равна e+Lq. Энергией e наматывается нить, затем следует: щелк, щелк, клингенкланггеклунген..., и энергия переходит в тепло, Вся одолженная энергия идет на то, чтобы поднять блошку и собачку, которая потом падает и отдает тепло другой стороне (храповику).
Рассмотрим теперь случай обратного вращения. Что происходит здесь? Чтобы храповик повернулся назад, надо лишь снабдить собачку такой энергией, чтоб ей хватило сил подняться и пропустить храповик. Эта энергия по-прежнему равна e. Вероятность (в пересчете на секунду) того, что собачка поднимется на нужную высоту, теперь равна (1/t)ехр(-e/kT2). (Множитель пропорциональности тот же, но в показателе стоит kT2из-за того, что температура иная.) Когда это случается, т. е. зубчатка проскальзывает назад, работа уже высвобождается (высвободился один зубец, а вместе с ним и работа Lq). Энергия, взятая у системы храповик — собачка, есть e, а энергия, переданная газу на другом конце оси при температуре T1, есть Lq+e. Это тоже легко понять. Положим, что собачка поднялась сама собой за счет флуктуации. Когда она упадет и пружинка ударит ее по зубцу, возникнет сила, стремящаяся повернуть зубчатку, ведь плоскость-то, о которую ударилась собачка, наклонная. Эта сила производит работу; то же можно сказать о весе грузика. Обе силы суммируются, и вся медленно высвобождаемая энергия появляется в виде тепла на той стороне, где вертушка. (Конечно, так и должно быть по закону сохранения энергии, но мы обязаны осторожно продумать все насквозь!)
Мы замечаем, что все эти энергии в точности те же, что и раньше, только переставлены. Итак, смотря по тому, какое из отношений больше, грузик либо медленно поднимается, либо медленно опускается. Конечно, на самом деле он непрерывно ходит туда-сюда, покачивается, но мы говорим об усредненном поведении.
