31
Более точно, Планк показал, что волны, минимальная энергия которых превышает их ожидаемый средний энергетический вклад (согласно термодинамике девятнадцатого века), подавляются по экспоненциальному закону. Степень подавления резко увеличивается с увеличением частоты.
Постоянная Планка равна 1,05×10−27 (г·см2)/с.
Timothy Ferris, Coming of Age in the Milky Way. New York: Anchor, 1989, p. 286.
Стивен Хокинг. Доклад на Амстердамском симпозиуме по гравитации, черным дырам и теории струн, 21 июня 1997 г.
Следует отметить, что с помощью фейнмановского подхода к квантовой механике можно вывести подход, основанный на волновых функциях, и наоборот; следовательно, эти два подхода полностью эквивалентны. Однако концепции, терминология и интерпретация, даваемая каждым из этих подходов, различаются очень сильно, несмотря на то, что решения, которые они дают, тождественны.
Richard Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton: Princeton University Press, 1988. (Рус. пер.: Фейнман Р. Квантовая электродинамика: странная теория света и материи. М.: Наука, 1988 (Библиотечка «Квант». Вып. 66).)
Stephen Hawking, A Brief History of Time. New York: Bantam Books, 1988, p. 175. (Рус. пер.: Хокинг С. От Большого взрыва до черных дыр. М.: Мир, 1998.)
Цитируется по книге: Timolhy Ferris, The Whole Shebang. New York: Simon Schuster, 1997, p. 97.
Если вы все еще озабочены тем, как вообще что-либо может происходить в пустом пространстве, вы должны понять, что соотношение неопределенностей накладывает ограничения на то, насколько «пустой» может в действительности быть область в пространстве; оно изменяет наше понимание пустого пространства. Например, применительно к волновым возмущениям поля (таким, как электромагнитные волны, распространяющиеся в электромагнитном поле) соотношение неопределенностей утверждает, что амплитуда волны и скорость изменения амплитуды связаны тем же самым отношением обратной пропорциональности, которое выполняется для положения частицы и ее скорости. Чем точнее указана амплитуда, тем менее точно мы знаем скорость, с которой она изменяется. Когда мы говорим, что область в пространстве является пустой, мы обычно имеем в виду, что, помимо всего прочего, в ней не распространяются волны и что все поля имеют нулевую интенсивность. Пользуясь грубым, но очень наглядным языком, можно перефразировать данное выражение, сказав, что амплитуды всех волн, проходящих через данную область, в точности равны нулю. Однако если амплитуды точно известны, то согласно соотношению неопределенностей это означает, что скорость изменения амплитуды является совершенно неопределенной и может принимать любое значение. Но если амплитуда изменяется, это означает, что в следующий момент она уже не может быть нулевой, даже несмотря на то, что область пространства по-прежнему остается «пустой». Опять же, в среднем поле будет нулевым, поскольку в одних областях оно будет принимать положительные значения, а в других — отрицательные; средняя суммарная энергия области не изменится. Но это верно только в среднем. Квантовая неопределенность предполагает, что энергия поля (даже в пустой области пространства) флуктуирует от больших значений к меньшим. При этом амплитуда флуктуации увеличивается по мере уменьшения расстояний и промежутков времени, и которых исследуется эта область. Согласно формуле E = mc2 энергия, заключенная в таких кратковременных флуктуациях, может быть преобразована в массу путем мгновенного образования пары, состоящей из частицы и соответствующей античастицы, которые затем быстро аннигилируют, чтобы сохранить средний баланс энергии.
Даже несмотря на то, что первоначальное уравнение Шредингера (то, в котором учитывалась специальная теория относительности) не давало точного описания квантово-механических характеристик электронов в атомах водорода, ученые вскоре поняли, что это ценный инструмент при использовании в надлежащем контексте, который и сегодня еще не вышел из употребления. Однако к тому времени, как Шредингер опубликовал свое уравнение, его опередили Оскар Клейн и Уолтер Гордон, поэтому его релятивистское уравнение носит название уравнения «Клейна-Гордона».
Для математически подготовленного читателя заметим, что принципы симметрии, используемые в физике элементарных частиц, обычно основаны на группах, чаще всего на группах Ли. Элементарные частицы систематизируются по представлениям различных групп; уравнения, описывающие эволюцию частиц во времени, должны удовлетворять соответствующим преобразованиям симметрии. Для сильного взаимодействия такой группой симметрии является группа SU(3) (аналог обычных трехмерных вращений, но в комплексном пространстве), при этом три цветовых заряда кварка заданного типа преобразуются по трехмерному представлению. Смещение (от красного, зеленого, синего к желтому, индиго и фиолетовому), которое упомянуто в тексте, если быть более точным, представляет собой SU(3) преобразование, примененное к «цветовым координатам» кварка. Калибровочной является симметрия, в которой групповые преобразования могут зависеть от точек пространства-времени: в этом случае «вращение» цветов кварка будет происходить по-разному в различных точках пространства и в различные моменты времени.
При разработке квантовых теорий трех негравитационных взаимодействий физики также столкнулись с вычислениями, которые приводили к бесконечным результатам. Однако со временем ученые осознали, что от бесконечностей можно избавиться с помощью процедуры, известной как перенормировка. Бесконечности, возникающие при попытках объединить общую теорию относительности и квантовую механику, являются гораздо более серьезными, от них нельзя избавиться с помощью перенормировки. Позднее стало ясно, что бесконечные результаты сигнализируют о том, что теория используется за пределами области своей применимости. Поскольку цель исследований — «окончательная» или «последняя» теория, область применимости которой в принципе не ограничена, физики ищут теорию, в ответах которой не появлялись бы бесконечные величины, независимо от того, насколько экстремальной является анализируемая физическая система.
Величину планковской длины можно получить с использованием простых рассуждений, основанных на том, что физики называют размерным анализом. Идея состоит в следующем. Когда та или иная теория формулируется в виде набора уравнений, то чтобы теория приобрела связь с действительностью, абстрактным символам должны быть поставлены в соответствие физические характеристики реального мира. В частности, нужно ввести систему единиц измерения. Например, если мы обозначим некоторую длину символом а, то у нас должна быть шкала для интерпретации этого значения. В конце концов, если уравнение говорит нам, что искомая длина равна 5, мы должны знать, означает ли это 5 см, 5 км или 5 световых лет и т.п. В теории, которая включает в себя общую теорию относительности и квантовую механику, естественный выбор единиц измерения выглядит следующим образом. В природе есть две константы, которые входят в уравнения общей теории относительности: скорость света c и ньютоновская гравитационная постоянная G. Квантовая механика определяется постоянной Планка ħ. Исследуя единицы, в которых выражены эти константы (например, c представляет собой скорость и поэтому выражается как расстояние, деленное на время, и т.п.), можно заметить, что величина √(ħG/c2) имеет размерность длины; ее значение составляет 1,616×10−33 см. Это и есть планковская длина. Поскольку она содержит гравитационный и пространственно-временной параметры (G и c), а также квантово-механическую константу (ħ), она устанавливает шкалу для измерений (естественную единицу длины) для любой теории, которая пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику. Когда мы используем в тексте выражение «планковская длина», мы часто имеем в виду приближенное значение, отличающееся от 10−33 см не более чем на несколько порядков.
В настоящее время, помимо теории струн, активно развиваются два других подхода к объединению общей теории относительности и квантовой механики. Один из них, возглавляемый Роджером Пенроузом из Оксфордского университета, известен под названием теории твисторов. Другой подход, появление которого отчасти было инициировано работами Пенроуза, развивается Абхаем Аштекаром из университета штата Пенсильвания, и получил название метода новых переменных. Мы не будем рассматривать эти подходы в данной книге, однако появляются все более обоснованные предположения о том, что они могут иметь глубокую связь с теорией струн, и, возможно, все три подхода ведут к одному и тому же решению проблемы объединения общей теории относительности и квантовой механики.
