11
Для читателей, имеющих математическую подготовку, заметим, что по 4-вектору положения в пространстве-времени
можно построить 4-вектор скорости
где τ— собственное время, определяемое соотношением
Тогда «скорость в пространстве-времени» будет представлять собой величину 4-вектора u,
которая равна скорости света c. Теперь уравнение
можно переписать в форме
Это показывает, что увеличение скорости тела в пространстве
должно сопровождаться уменьшением величины
dτ/
dt, которая представляет собой скорость объекта во времени (скорость, с которой идут его собственные часы
dτпо отношению к скорости наших неподвижных часов
dt).
12
Isaac Newton, «Sir Isaac Newton’s Mathematical Principle of Natural Philosophy and His System of the World», trans. A. Motte and Florian Cajori. Berkeley: University of California Press, 1962, v. I, p. 634. (В рус. пер. см.: письмо Ньютона архиепископу Бентли от 25 февраля 1693 г. // Письма Ньютона и Ньютону. М.: ВИЕТ, 1993, № 1, с. 33–45.)
13
Если говорить точнее, Эйнштейн осознал, что принцип эквивалентности сохраняется до тех пор, пока наблюдения ограничены достаточно малой областью пространства, т. е. до тех пор, пока ваше «купе» достаточно мало. Причина этого состоит в следующем. Интенсивность (и направление) гравитационных полей могут изменяться от точки к точке. Однако мы считаем, что купе в целом ускоряется как единое тело и, следовательно, это ускорение имитирует действие однородного гравитационного поля. Чем меньше будет купе, тем меньше пространство, в котором гравитационное поле может изменяться и, следовательно, тем более применимым станет принцип эквивалентности. Разность между однородным гравитационным полем, имитируемым ускорением, и возможно неоднородным «реальным» гравитационным полем, созданным совокупностью массивных тел, носит название «приливного» гравитационного поля (поскольку им объясняется влияние тяготения Луны на приливы на Земле). Подытоживая данное примечание, можно сказать, что уменьшая размер купе, можно сделать приливные гравитационные поля менее заметными и добиться того, что ускоренное движение и «реальное» гравитационное поле будут неразличимы.
14
Цитируется по книге: Albrecht Fölsing, «Albert Einstein». New York: Viking, 1997, p. 315.
15
John Stachel, «Einstein and the Rigidly Rotating Disk». Опубликовано в «General Relativity and Gravitation», ed. A. Held. New York: Plenum, 1980, p. 1.
16
Анализ аттракциона «Верхом на торнадо» или «жёсткого вращающегося диска», как он называется на более профессиональном языке, может легко привести к недоразумениям. Так, например, и по сей день нет общего согласия по ряду деталей этого примера. В тексте мы следовали духу анализа, выполненного самим Эйнштейном; в примечании мы, оставаясь на той же точке зрения, постараемся пояснить некоторые особенности, которые могут привести к недоразумениям. Во-первых, может показаться непонятным, почему длина окружности колеса не испытает лоренцевского сокращения в той же мере, что и линейка: в этом случае результат, полученный Слимом, совпадал бы с первоначальным. Здесь следует иметь в виду, что мы всё время считали, что колесо непрерывно вращается и никогдане рассматривали его в состоянии покоя. Таким образом, с точки зрения неподвижных наблюдателей, единственное различие между измерениями длины окружности и измерениями Слима будет состоять в том, что линейка Слима испытала лоренцевское сокращение; колесо вращалось и во время наших измерений, и тогда, когда мы наблюдали за измерениями Слима. Видя, что линейка Слима испытала сокращение, мы понимали, что ему придётся приложить её большее число раз, чтобы пройти по всей длине окружности и, следовательно, он получит большее значение, чем мы. Лоренцевское сокращение окружности колеса можно установить, только сравнив результаты измерений на покоящемся и вращающемся колесе, однако такое сравнение нас не интересовало.
Во-вторых, хотя нам и не требовалось анализировать аттракцион в состоянии покоя, у вас может остаться вопрос, а что случится с колесом, когда оно замедлит своё движение и остановится? Может показаться, что в этом случае следует учитывать изменение длины окружности при изменении скорости вращения, вызванное сокращением Лоренца. Но как можно согласовать это с неизменным радиусом? Это тонкая проблема, решение которой опирается на тот факт, что в реальном мире не существует абсолютно жёсткихтел. Тела могут растягиваться и изгибаться в ответ на испытываемое ими растяжение или сжатие. Если этого не произойдёт, то, как указал Эйнштейн, диск, изготовленный путём охлаждения вращающейся отливки, может разрушиться при изменении скорости вращения. Более подробно история с жёстким вращающимся диском описана в работе Стахеля [23].
17
Искушённый читатель поймёт, что в примере с аттракционом «Верхом на торнадо», т. е. в случае равномерно вращающейся системы отсчёта, искривлённые трёхмерные пространственные сечения, на которых мы сконцентрировали наше внимание, объединятся в четырёхмерное пространство-время с нулевой кривизной.
18
Цитата Германа Минковского взята из работы: Albrecht Fölsing, «Albert Einstein». New York: Viking, 1997, p. 189.
19
Интервью с Джоном Уилером, 27 января 1998 г.
20
Точность существующих атомных часов достаточна для того, чтобы обнаружить столь малые и даже ещё меньшие искривления времени. Например, в 1976 г. Робер Вессо и Мартин Левин из Смитсонианской астрофизической обсерватории Гарвардского университета совместно со своими коллегами из Национального управления по аэронавтике и космическим исследованиям США (NASA) установили на ракете Scout D, стартовавшей с о. Уоллопс в штате Вирджиния, атомные часы, точность которых составляет одну триллионную долю секунды в час. Они надеялись продемонстрировать, что когда ракета достигнет достаточной высоты (в результате чего уменьшится влияние гравитационного притяжения Земли), идентичные часы, расположенные на Земле (которые будут в полной мере подвергаться действию земного тяготения) будут идти медленнее. Благодаря двустороннему обмену микроволновыми сигналами исследователи смогли сравнить показания двух атомных часов и установить, что действительно, на достигнутой ракетой максимальной высоте 10 000 км установленные на ней атомные часы обогнали на 4 миллиардных доли секунды часы, оставшиеся на Земле. Расхождение экспериментальных данных с результатами теоретических расчётов составило менее 0,01%.
21
В середине XIX в. французский учёный Урбен Жан-Жозеф Леверье установил, что орбита планеты Меркурий немного отклоняется от орбиты, по которой она должна вращаться вокруг Солнца в соответствии с ньютоновским законом всемирного тяготения. В течение более чем полувека предлагались самые разные объяснения так называемой аномальной прецессии перигелия (на обычном языке, в крайних точках своей орбиты Меркурий оказывался не в том месте, в котором он должен был находиться согласно теории Ньютона). В качестве возможных причин рассматривалось гравитационное влияние неизвестной планеты или пояса астероидов, влияние неизвестного спутника, воздействие межзвёздной пыли, сплюснутость Солнца, однако ни одно из этих объяснений не получило общего признания. В 1915 г. Эйнштейн рассчитал прецессию перигелия Меркурия с помощью уравнений только что открытой им общей теории относительности. Он получил результат, который по его собственному свидетельству заставил его сердце учащённо биться: значение, полученное с помощью общей теории относительности, в точности совпадало с экспериментальными данными. Этот успех, несомненно, был одной из важных причин, заставивших Эйнштейна поверить в свою теорию, но большинство других исследователей ожидало предсказания новых явлений, а не объяснения уже известных аномалий. Более подробно эта история описана в книге: Abraham Pais, «Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein». New York: Oxford University Press, 1982. (Рус. пер.: Пайс А. «Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна». М.: Наука, Физматлит, 1989.)
