65
Для читателя, имеющего математическую подготовку, отметим, что многообразие Калаби–Яу представляет собой комплексное кэлерово многообразие с нулевым первым классом Черна. В 1957 г. Калаби высказал предположение, что каждое такое многообразие допускает Риччи-плоскую метрику, а в 1977 г. Яу доказал справедливость этого предположения.
66
Эта иллюстрация была любезно предоставлена Эндрю Хэнсоном из университета штата Индиана, она была создана с использованием графического пакета «Mathematica 3-D».
67
Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что это конкретное пространство Калаби–Яу представляет собой действительное трёхмерное сечение гиперповерхности пятого порядка в комплексном проективном четырёхмерном пространстве.
68
Edward Witten, «Reflections on the Fate of Spacetime». «Physics Today», April 1996, p. 24.
69
Интервью с Эдвардом Виттеном, 11 мая 1998 г.
70
Sheldon Glashow and Paul Ginsparg, «Desperately Seeking Superstrings?» «Physics Today», May 1986, p. 7.
71
Sheldon Glashow. Опубликовано в «The Superworld I», ed. A. Zichichi, New York: Plenum, 1990, p. 250.
72
Sheldon Glashow, «Interactions», New York: Warner Books, 1988, p. 335.
73
Richard Feynman. Опубликовано в «Superstrings: A Theory of Everything?» ed. Paul Davies and Julian Brown, Cambridge, Eng: Cambridge University Press, 1988.
74
Howard Georgi. Опубликовано в «The New Physics», ed. Paul Davies, Cambridge: Cambridge University Press, 1989, p. 446.
75
Интервью с Эдвардом Виттеном, 4 мая 1998 г.
76
Интервью с Кумруном Вафой, 12 января 1998 г.
77
Цитируется по книге: Robert P. Crease and Charles С. Mann, «The Second Creation». New Brunswick, N. J.: Rutgers University Press, 1996, p. 414.
78
Интервью с Шелдоном Глэшоу, 28 декабря 1997 г.
79
Интервью с Шелдоном Глэшоу, 28 декабря 1997 г.
80
Интервью с Говардом Джорджи, 28 декабря 1997 г. Во время интервью Джорджи также отметил, что экспериментальное опровержение предсказанного распада протонов, которое следовало из предложенной им и Глэшоу первой теории великого объединения (см. главу 7), сыграло существенную роль в его нежелании принять теорию суперструн. Он горько заметил, что его теория великого объединения требует намного больших энергий, чем любая другая теория, когда-либо выносившаяся на суд, и когда его предсказание оказалось неверным, когда «он был нокаутирован природой», его отношение к изучению физики чрезвычайно высоких энергий резко изменилось. Когда я спросил его, не будет ли для него экспериментальное подтверждение теории великого объединения стимулом включиться в наступление на область планковских масштабов, он ответил: «Да, очень может быть».
81
David Gross, «Superstrings and Unification». Опубликовано в «Proceedings of the XXIV International Conference on High Energy Physics», ed. R. Kotthaus and J. Kuhn. Berlin: Springer-Verlag, 1988, p. 329.
82
Сказав это, следует помнить о возможности, указанной в примечании {47} , что струны могут иметь значительно больший размер, чем считалось первоначально, и, следовательно, могут стать объектом прямого экспериментального изучения на ускорителях в течение ближайших десятилетий.
83
Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что согласно более точной математической формулировке число семейств равно половине абсолютного значения числа Эйлера для пространства Калаби–Яу. Число Эйлера представляет собой сумму размерностей групп гомологий многообразия, где группы гомологий это то, что мы на нашем нестрогом языке назвали многомерными отверстиями. Таким образом, количество семейств, равное трём, следует из того, что число Эйлера для этих пространств Калаби–Яу равно ±6.
84
Интервью с Джоном Шварцем, 23 декабря 1997 г.
85
Для читателя, имеющего математическую подготовку, заметим, что мы ставим в соответствие многообразию Калаби–Яу конечную нетривиальную фундаментальную группу, порядок которой в некоторых случаях определяет знаменатель дробного заряда.
86
Интервью с Эдвардом Виттеном, 4 марта 1998 г.
87
Для читателей, хорошо знакомых с рассматриваемыми вопросами, заметим, что некоторые из этих процессов нарушают закон сохранения лептонного числа, а также CPT-симметрию (инвариантность относительно изменения знака заряда, чётности и направления времени).
88
Отметим для полноты, что хотя большая часть приведённых выше аргументов в равной степени справедлива как для открытых струн (струн со свободными концами), так и для замкнутых струн (которым мы уделяли основное внимание), в рассматриваемом вопросе два типа струн могут, кажется, проявлять различные свойства. Действительно, открытая струна не может быть «насажена» на циклическое измерение. Тем не менее, в результате исследований, сыгравших в конце концов ключевую роль во второй революции суперструн, Джо Польчински из Калифорнийского университета в городе Санта-Барбара и двое его студентов, Джиан-Хюи Дай и Роберт Лей, в 1989 г. продемонстрировали, что открытые струны прекрасно вписываются в схему, которая будет описана в данной главе.
89
Чтобы ответить на вопрос о том, почему возможные энергии однородных колебаний равны целымкратным 1/ R, достаточно лишь вспомнить обсуждение квантовой механики (в частности, примера с ангаром) в главе 4. Там мы узнали о том, что согласно квантовой механике энергия, как и деньги, существуют в виде дискретных порций, т. е. в виде целых кратных различных энергетических единиц. В случае однородного колебательного движения струны во вселенной Садового шланга эта энергетическая единица в точности равна 1/ R, как объясняется в основном тексте на основе соотношения неопределённостей. Таким образом, энергия однородных колебаний равна произведению целых чисел на 1/ R.
90
Математически равенство энергий струн во вселенной с радиусом циклического измерения Rили 1/ Rесть следствие формулы для энергии υ/ R+ ωR, где υ — колебательное число, а ω — топологическое число. Данное уравнение инвариантно относительно одновременных взаимных замен υна ωи Rна 1/ R, т. е. при перестановке колебательных и топологических чисел с одновременной инверсией радиуса. Мы используем планковские единицы, но можно работать и в более привычных единицах, если переписать формулу для энергии через так называемую струнную шкалу
, значение которого примерно равно планковской длине, т. е. 10
−33сантиметра. В результате энергия записывается в виде выражения
υ/
R+
ωR/
α', инвариантного относительно взаимной замены
υна
ωи
Rна
α'/
R, где последние две величины выражены в стандартных единицах расстояния.
