Ознакомительная версия.
65. Что там дальше?
Учитель выписывает на доске числа – 13, 21, 34 – и просит учеников продолжить последовательность, дописав еще хотя бы два последующих числа. Они долго спорили, в конечном итоге пришли к трем различным вариантам, но ни в одном они не уверены. А какой выберете вы?
Варианты ответов1. 42, 56.
2. 50, 69.
3. 55, 89.
Правильный ответ: 3Вопрос на эрудицию, если ответ вам неизвестен, догадаться будет весьма непросто. Нужно обратить внимание, что 13 и 21 в сумме дают аккурат 34, а какая последовательность выражается формулой «Каждое последующее есть сумма двух предыдущих»? Совершенно верно, это последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Любопытно, что числа Фибоначчи их автором, Леонардо Пизанским (1170–1250; Фибоначчи его прозвали только после смерти), были предложены для подсчета количества кроликов, известных своей плодовитостью, в каждом поколении.
Найти хотя бы один корень уравнения (x + 1) (x + 3) × (x + 5) (x + 7) = 945.
Варианты ответов1. 2.
2. 4.
3. –10.
Правильный ответ: 1, 3Приглядимся к уравнению: в левой части четыре множителя, каждый из которых отличается от соседнего на 2. Если разложить 945 на четыре таких множителя, то решение, можно считать, уже у нас в руках. Раскладываем: разумеется, 945 делится на 5; разделили, получили 189, сумма цифр дает 18, значит, оно делится еще и на 3; поделили, получили 63, а это 7 и 9, в итоге имеем 945 = 3 × 5 × 7 × 9, и x = 2 очевидно является решением. Но также решением является и –10: (–9) × (–7) × (–5) × (–3) снова равно 945 (минус на минус на минус на минус дает плюс). А есть ли еще решения? Заменим x на y = x + 4, тогда уравнение будет выглядеть так: (y – 3)(y – 1)(y + 1)(y + 3) = 945. Вспоминая, что (y – a)(y + a) = y² – a², преобразуем уравнение к виду (y²–1)(y²–9) = 945. Заменим еще одно обозначение y² = z и получим квадратное уравнение на z: z² – 10z – 936 = 0 (мы просто раскрыли скобки и перенесли все из правой части уравнения в левую). У этого уравнения есть два корня: 36 и −26. С первым все понятно: подставляя z = (x + 4)², мы как раз получим уже известные нам первые два решения. А как быть со вторым? Ну, тут история позаковыристее, нужно взять квадратный корень из отрицательного числа. Кто-то скажет, что таких не бывает, а мы скажем: бывает, это же просто i × √26, где i = √−1 – мнимая единица. Таким образом, оставшиеся два корня уравнения – это 4 ± i × √26.
Нужно найти все натуральные числа от 1 до 1000, делящиеся одновременно на 7 и на 11. Сколько таких?
Варианты ответов1. 7.
2. 10.
3. 12.
Правильный ответ: 3Поскольку 7 и 11 – простые числа, то понятно: для того чтобы число делилось и на 7, и на 11, нужно, чтобы оно делилось на 77. Итоговое произведение этих чисел (1 × 77, 2 × 77, … – и так вплоть до n × 77) не должно превышать 1000. При n = 12 это 924, а при n = 13 уже 1001, не подходит. Так что правильный ответ – 12.
Когда в Москве 12:00, в Чикаго 3:00. Когда же 3:00 в Москве, 12:00 в Петропавловске-Камчатском. А который час в Чикаго, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00?
Варианты ответов1. 12:00.
2. 21:00.
3. 9:00.
Правильный ответ: 3В Москве по отношению к Чикаго +9 часов, в Петропавловске-Камчатском по отношению к Москве +9 часов, соответственно, в Чикаго по отношению к Петропавловску-Камчатскому – 18 часов, там всегда на 18 часов меньше, чем в нашем дальневосточном городе. Значит, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00, в Чикаго −15 – т. е. 24−15 = 9, 9:00 предыдущего дня.
В отделе продаж фирмы работают молодые люди: девять красавцев средним возрастом 25 лет. А в бухгалтерии – без пяти минут пенсионеры, 11 счетоводов, им в среднем по 45. А что можно сказать про средний возраст персонала фирмы? (Предположим для простоты, что более никаких отделов в компании нет.)
Варианты ответов1. 35 лет.
2. 36 лет.
3. 38 лет.
Правильный ответ: 2Элементарная задачка, если вспомнить определение среднего. Средний возраст равен сумме всех возрастов (суммарный возраст), деленной на число людей. Значит, нам нужно посчитать сначала суммарный возраст всех сотрудников, который равен {суммарный возраст по отделу продаж} + {суммарный возраст по бухгалтерии} = 25 × 9 + 45 × 11 = 720 лет. Теперь, чтобы получить средний возраст, делим найденный суммарный на общее число сотрудников (9 + 11 = 20), получаем 36 лет.
Среди всех трехзначных чисел есть такие, сумма цифр которых ровно в 12 раз меньше самого числа. Сколько таких?
Варианты ответов1. Только одно.
2. Два.
3. Шесть.
Правильный ответ: 1Любое трехзначное число можно записать как 100a + 10b + c, где a, b и c принимают целочисленные значения (уже пятая диофантова задача! См. № 47, 55, 62 и 64), b и c в диапазоне от 0 до 9, a – от 1 до 9. По условию само число равно сумме цифр, умноженной на 12: 100a + 10b + c = 12 (a + b + c). Упрощая, запишем: 88a = 2b + 11c, a = (2b + 11c) ∕ 88a = 1 при 2b + 11c = 88, при этом значение a = 2, не говоря уж о бóльших, невозможно – тогда 2b + 11c должно сравняться со 176, для b и c меньших 9 это просто немыслимо. В общем, a всегда единица, c = 8 при b = 0, а больше никаких возможностей не существует: можно взять еще c = 6, но тогда b = 11, снова вышли за пределы допустимого диапазона. Выходит, единственное число, удовлетворяющее условию, – это 108 = 12 × 9.
Профессионал выполняет работу за 5 ч, стажер за 10 ч. А за какое время справится специалист, производительность которого – среднее арифметическое от производительности профессионала и стажера?
Варианты ответов1. За 6 ч 40 м.
2. За 7 ч 30 м.
3. За 8 ч 20 м.
Правильный ответ: 1Ответ «семь с половиной часов» – типичная ошибка, связанная с тем, что прежде, чем усреднять, нужно определиться, что именно мы усредняем. В задаче речь о производительности, давайте ее посчитаем. Производительность – это работа в единицу времени. Если принять ту работу, о которой говорится в условии, за единицу, то производительность профи 1/5, стажера 1/10, специалиста – (1/5 + 1/10)/2 = 3/20, а работу единичного объема он выполнит за 20/3 ч = 6 ч 40 м.
В вашем распоряжении две банки – трех– и пятилитровая. Нужно отмерить ровно 1 л воды. Возможно ли это, и если да, то за сколько шагов (шаг = одно наливание из крана или одно переливание из одной банки в другую)?
Варианты ответов1. Невозможно.
2. За четыре шага.
3. За восемь шагов.
Правильный ответ: 2Чтобы понять, как действовать, сначала нужно прикинуть, как из 3 и 5 получить 1, чисто арифметически. Самый простой вариант: 1 = 3 + 3–5, т. е. нам нужно как-то дважды налить по 3 л, а после куда-то деть 5 л. Возможно? Возможно: наполняем трехлитровую банку (1-й шаг) и переливаем все ее содержимое в пятилитровую (2-й шаг), затем снова наполняем трехлитровую (3-й шаг) и снова переливаем в пятилитровую (4-й шаг) – в нее войдет только 2 л, после чего в трехлитровой банке останется ровно 1 л воды.
Давайте посчитаем по-быстрому, сколько будет 1 + 3 + 5 + 7 +… + 99? (Сумма всех нечетных чисел от единицы до 99.) Это:
Варианты ответов1. 1234.
2. 2500.
3. 3600.
Правильный ответ: 2Вообще говоря, перед нами сумма членов арифметической прогрессии, для подсчета которой существует известная формула, и при желании мы можем ею воспользоваться. Но это путь долгий и неизящный – а мы хотим посчитать быстро, красиво и в уме. Тогда вспомним, что еще с античных времен известно: любая сумма нечетных чисел от единицы до n суть полный квадрат. Судите сами: 1 + 3 = 4 = 2²; 1 + 3 + 5 = 9 = 3²; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². То, что так будет для всех нечетных чисел, ясно уже из геометрических соображений: возьмем побольше единичных (со стороной длиной 1, неважно чего – метров, футов или лье) квадратов и начнем последовательно собирать из них квадраты большего размера – со стороной 2, 3 и т. д. (см. рисунок). Квадрат со стороной 2 получается прибавлением к первоначальному квадрату еще трех, со стороной 3 – прибавлением к предыдущему еще пяти, ну и т. д. Площадь большого квадрата (со стороной длины n) можно записать как n², а можно – как сумму площадей всех составляющих его фигур (площадь первого единичного квадрата + площади всех «надстроек» над ним, превращающих его в квадрат во стороной n): 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1). В итоге имеем равенство 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) = n². В нашем случае n = 50 (так как 2n – 1 = 99), значит, сумма равна 50 × 50 = 2500.
Ознакомительная версия.