Первый случай. У прибора Т ось у (вдоль которой движутся частицы) та же самая, что и у S, но Т повернут вокруг общей оси у на угол а (на фиг. 3.6). (Чтобы быть точными, укажем, что в приборе Т установлена система координат х' , у', z', связанная с координатами х, у, z прибора S формулами z'=zcosa+хsina; х'=хcosa- zsina; у' = у.) Тогда амплитуды преобразований таковы:
(3.38)
Второй случай. Прибор Т имеет ту же ось г, что и S, но повернут относительно оси z на угол b. (Преобразование координат: z'=z; х' =xcosb+ysinb; у'=уcosb- хsinb.) Тогда амплитуды преобразований суть
(3.39)
Заметьте, что любые вращения Т можно составить из описанных двух вращений.
Если состояние j определяется тремя числами
и если то же состояние описывается с точки зрения Т тремя числами
тогда коэффициенты <jT| iS>из (3.38) и (3.39) дают преобразования, связывающие Сi и С'i. Иными словами. С; очень походят на компоненты вектора, который с точек зрения S и Т выглядит по-разному.
Только у частицы со спином 1 (потому что ей требуются как раз три амплитуды) есть такое тесное соответствие с векторами. Здесь во всех случаях имеется тройка чисел, которая обязана преобразовываться при изменениях координат определенным известным образом. И действительно, здесь есть и такая совокупность базисных состояний, которая преобразуется в точности, как три компоненты вектора. Три комбинации
преобразуются в С'х, С'у, С'zкак раз так же, как х, у, z преобразуются в х', у', z' . [Вы можете проверить это с помощью законов преобразований (3.38) и (3.39).] Теперь вы понимаете, почему частицу со спином 1 часто называют «векторной частицей».
§ 8. Другие случаи
Мы начали с того, что подчеркнули, что наши рассуждения о частице со спином 1 явятся прототипом любых квантовомеханических задач. Обобщения требует только количество состояний. Вместо тройки базисных состояний в других случаях может потребоваться n базисных состояний. Форма наших основных законов (3.27) останется той же, если только понимать, что i и j должны пробегать по всем n базисным состояниям. Любое явление можно проанализировать, задав амплитуды того, что оно начинается с любого базисного состояния и кончается тоже в любом базисном состоянии, а затем просуммировав по всей полной системе базисных состояний. Можно использовать любую подходящую систему базисных состояний, и каждый вправе выбрать ту, которая ему по душе; связь между любой парой базисов осуществляется матрицей преобразований nXn. Позже мы подробнее расскажем об этих преобразованиях.
Наконец, мы пообещали рассказать о том, что надо делать, если атомы прямо из печи проходят через какой-то прибор А и затем анализируются фильтром, который отбирает состояние c. Вы не знаете, каково то состояние j, в котором они входят в прибор. Лучше всего, наверное, было бы, если бы вы, не думая пока об этой проблеме, занимались такими задачами, в которых вначале имеются только чистые состояния. Но если уж вы на этом настаиваете, так вот как расправляются с этой проблемой.
Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы покидают печь, будучи «ориентированы» как попало. Квантовомеханически это соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть атомов находится в состоянии (+S), треть — в состоянии (0S) и треть — в состоянии (-S). Для пребывающих в состоянии (+S) амплитуда пройти сквозь А есть <c|А|+S>, а вероятность |<c|А|+S>|2. То же и для других. Общая вероятность тогда равна
Но почему мы пользовались S, а не Т или каким-нибудь другим представлением? Дело в том, что, как это ни странно, ответ не зависит от того, каким было исходное разложение; он один и тот же, если только мы имеем дело с совершенно случайными ориентациями. Таким же образом получается, что
для любого c. (Докажите-ка это сами!)
Заметьте, что неверно говорить, будто входные состояния обладают амплитудой Ц1/3быть в состоянии (+S), Ц1/3 в состоянии (0S)и Ц1/3в состоянии (-S); если бы это было так, были бы допустимы какие-то интерференции. Здесь вы просто не знаете, каково начальное состояние; вы обязаны думать на языке вероятностей, что система сперва находится во всевозможных мыслимых начальных состояниях, и затем взять средневзвешенное по всем возможностям.
* Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности.
* И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе).
* Из этого опыта мы на самом деле не можем заключить, что а= 1, а видим только, что |а|2=1, следовательно, а может быть eid, но можно показать, что при выборе d=0 мы ничего существенного здесь не потеряли.
* На языке наших прежних обозначений
* Мы не собираемся вкладывать в слова «базисное состояние» что-либо сверх того, что здесь сказано. Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать их «основными состояниями». Слово «базис» понимается как «система описания», скажем, в таком смысле, как в выражении «число в десятичной системе».
* Произносить надо так: (+S)—«плюс-S»; (0S) — «нуль-S»; (-S)— «минус-S».
§ 1. Преобразование амплитуд
§ 2. Преобразование к повернутой системе координат
§ 3. Повороты вокруг оси z
§ 4. Повороты на 180° и на 90 вокруг оси у
§ 5. Повороты вокруг оси x
§ б. Произвольные повороты
§ 1. Преобразование амплитуд
В предыдущей главе мы, пользуясь в качестве примера системой со спином 1, набросали общие принципы квантовой механики.
Любое состояние y можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом из них.
Амплитуда перехода из одного состояния в другое может быть в общем случае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных состояний на амплитуды перехода из этих базисных состояний в конечное положение; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоянию;
Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль:
Амплитуда перехода из одного состояния в другое комплексно сопряжена амплитуде обратного перехода
Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы перейти от одного базиса к другому. Пусть, например, мы знаем амплитуды <iS|y> обнаружения состояния y в любом из базисных состояний i базисной системы S, но затем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности базисных состояний — скажем, состояний j, принадлежащих к базису Т. Мы тогда можем подставить в общую формулу (4.1) jT вместо c и получить
Амплитуды обнаружения состояния (y) в базисных состояниях (jТ) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных состояниях (iS) совокупностью коэффициентов <jT|iS>. Если базисных состояний N, то таких коэффициентов всего N2. Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления S к представлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через С; амплитуду того, что состояние y находится в базисном состоянии iS, т. е. Ci=<iS|y>, а через C'jназвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т. т. е. Сj=<jT|y>, то (4.4) можно записать в виде
