А теперь мы покажем, что, используя одни только эти принципы, уже можно решать и более трудные задачи, наподобие показанной на фиг. 1.2.
Фиг. 1.2. Интерференционный опыт посложнее.
Тут изображены две стенки: одна с двумя щелями 1 и 2, другая с тремя — а, b и с. За второй стенкой в точке х стоит детектор, и мы хотим узнать амплитуду того, что частица достигнет х. Один способ решения состоит в расчете суперпозиции, или интерференции, волн, проходящих сквозь щели; но можно сделать и иначе, сказав, что имеется шесть возможных путей, и накладывая друг на друга их амплитуды. Электрон может пройти через щель 1, затем через щель а и потом в х, или же он мог бы пройти сквозь щель 1, затем сквозь щель b и затем в x; и т. д. Согласно нашему второму принципу, амплитуды взаимоисключающих путей складываются, так что мы должны записать амплитуду перехода от s к х в виде суммы шести отдельных амплитуд. С другой стороны, согласно третьему принципу, каждую из них можно записать в виде произведения трех амплитуд. Например, одна из них — это амплитуда перехода от s к 1, умноженная на амплитуду перехода от 1 к а и на амплитуду перехода от а к я. Используя наше сокращенное обозначение, полную амплитуду перехода от s к х можно записать в виде
Можно сэкономить место, использовав знак суммы:
Чтобы, пользуясь этим методом, проводить какие-то вычисления, надо, естественно, знать амплитуду перехода из одного места в другое. Я приведу пример типичной амплитуды. В ней не учтены некоторые детали, такие, как поляризация света или спин электрона, а в остальном она абсолютно точна. С ее помощью вы сможете решать задачи, куда входят различные сочетания щелей. Предположим, что частица с определенной энергией переходит в пустом пространстве из положения r1 в положение r2. Иными словами, это свободная частица: на нее не действуют никакие силы. Отбрасывая численный множитель впереди, амплитуду перехода от r1 к r2 можно записать так:
где r12=r2-r1 а р — импульс частицы, связанный с ее энергией Е релятивистским уравнением
или нерелятивистским уравнением
p2/2m = Кинетическая энергия.
Уравнение (1.7) в итоге утверждает, что у частицы есть волновые свойства, что амплитуда распространяется как волна с волновым числом, равным импульсу, деленному на
В общем случае в амплитуду и в соответствующую вероятность входит также и время. В большинстве наших первоначальных рассуждений будет предполагаться, что источник испускает частицы с данной энергией беспрерывно, так что о времени не нужно будет думать. Но, вообще-то говоря, мы вправе заинтересоваться и другими вопросами. Допустим, что частица испущена в некотором месте Р в некоторый момент и вы хотите знать амплитуду того, что она окажется в каком-то месте, скажем г, в более позднее время. Это символически можно представить в виде амплитуды <r, t = t1 P, t= 0>. И ясно, что она зависит и от r, и от t. Помещая детектор в разные места и делая измерения в разные моменты времени, вы получите разные результаты. Эта функция r и t, вообще говоря, удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое является волновым уравнением. Скажем, в нерелятивистском случае это уравнение Шредингера. Получается волновое уравнение, аналогичное уравнению для электромагнитных волн или звуковых волн в газе. Однако надо подчеркнуть, что волновая функция, удовлетворяющая уравнению, не похожа на реальную волну в пространстве; с этой волной нельзя связать никакой реальности, как это делается со звуковой волной.
Хотя, имея дело с одной частицей, можно начать пытаться мыслить на языке «корпускулярных волн», но ничего в этом хорошего нет, потому что если, скажем, частиц не одна, а две, то амплитуда обнаружить одну из них в r1 а другую в r2 не есть обычная волна в трехмерном пространстве, а зависит от шести пространственных переменных r1и r2. Когда частиц две (или больше), возникает потребность в следующем добавочном принципе. Если две частицы не взаимодействуют, то амплитуда того, что одна частица совершит что-то одно, а другая сделает что-то другое, есть произведение двух амплитуд — амплитуд того, что две частицы проделали бы это по отдельности. Например, если <а|s1>есть амплитуда того, что частица 1 перейдет из s1 в а, а <b|s2> — амплитуда того, что частица 2 перейдет из s2 в b, то амплитуда того, что оба эти события произойдут вместе, есть
<a|sl><b|s2>.
И еще одну вещь надо подчеркнуть. Предположим, нам неизвестно, откуда появляются частицы на фиг. 1.2, прежде чем они пройдут через щели 1 и 2 в первой стенке. Несмотря на это, мы все равно можем предсказать, что произойдет за стенкой (скажем, вычислить амплитуду попасть в х), если только нам даны два числа: амплитуда попадания в 1 и амплитуда попадания в 2. Иными словами, из-за того, что амплитуды последовательных событий перемножаются, как это показано в уравнении (1.6), все, что вам нужно знать для продолжения анализа,— это два числа, в данном частном случае <1|s> и <2|s>. Этих двух комплексных чисел достаточно для того, чтобы предсказать все будущее. Это-то и делает квантовую механику простой. В следующих главах выяснится, что именно это мы и делаем, когда отмечаем начальные условия при помощи двух (или нескольких) чисел. Конечно, эти числа зависят от того, где расположен источник и каковы другие свойства прибора, но, как только эти числа даны, все подобные детали нам больше не нужны.
§ 2. Картина интерференции от двух щелей
Рассмотрим еще раз вопрос, который мы довольно подробно обсудили раньше, в гл. 37 (вып. 3). Сейчас мы используем идею об амплитуде во всей ее мощи, чтобы показать вам, как она работает. Вернемся к старому опыту, изображенному на фиг. 1.1, добавив к нему еще источник света и поместив его за щелями (ср. фиг. 37.4 гл. 37). В гл. 37 мы обнаружили следующий примечательный результат. Если мы заглядывали за щель 1 и замечали фотоны, рассеивавшиеся где-то за ней, то распределение вероятности того, что электрон попадал в х при одновременном наблюдении этих фотонов, было в точности такое же, как если бы щель 2 была закрыта. Суммарное распределение для электронов, которые были «замечены» либо у щели 1, либо у щели 2, было суммой отдельных распределений и было совсем не похоже на распределение, которое получалось, когда свет бывал выключен. По крайней мере так бывало, когда использовался свет с малой длиной волн. Когда длина волны начинала расти и у нас исчезала уверенность в том, у какой из щелей произошло рассеяние света, распределение становилось похожим на то, которое бывало при выключенном свете.
Посмотрим теперь, что здесь происходит, используя наши новые обозначения и принципы композиции амплитуд. Чтобы упростить запись, можно через j1опять обозначить амплитуду того, что электрон придет в х через щель 1, т. е.
Сходным же образом j2 будет обозначать амплитуду того, что электрон достигнет детектора через щель 2:
Это — амплитуды проникновения электрона через щель и появления в х, когда света нет. А если свет включен, мы поставим себе вопрос: какова амплитуда процесса, в котором вначале электрон выходит из s, а фотон испускается источником света L, а в конце электрон оказывается в ж, а фотон обнаруживается у щели 1? Предположим, что мы с помощью счетчика D1наблюдаем фотон у щели 1 (фиг. 1.3), а такой же счетчик D2 считает фотоны, рассеянные у щели 2.
Фиг.1.3. Опыт, в котором определяется, через которую из щелей проник электрон.
Тогда можно говорить об амплитуде появления фотона в счетчике D1а электрона в x; и об амплитуде появления фотона в счетчике D2, а электрона в х. Попробуем их подсчитать.
Хоть мы и не располагаем правильной математической формулой для всех множителей, входящих в этот расчет, но дух расчета вы почувствуете из следующих рассуждений. Во-первых, имеется амплитуда <1|s> того, что электрон доходит от источника к щели 1. Затем можно предположить, что имеется конечная амплитуда того, что, когда электрон находится у щели 1, он рассеивает фотон в счетчик D1. Обозначим эту амплитуду через а. Затем имеется амплитуда <x|1> того, что электрон переходит от щели 1 к электронному счетчику в х. Амплитуда того, что электрон перейдет от s к х через щель 1 ирассеет фотон в счетчик D1тогда равна
