Было бы удобно иметь эти амплитуды расписанными для некоторых особо важных случаев. Пусть Rz(j) — поворот на угол j вокруг оси z. Так же можно обозначить и соответствующую матрицу поворота (опуская молчаливо подразумеваемые индексы i и j). В том же смысле Rx(j) и Ry(j) будут обозначать повороты на угол j вокруг оси х и оси у,
В табл. 4.2 мы приводим матрицы — таблицы амплитуд <jT|iS>, которые проецируют амплитуды из системы S в систему Т, где Т получается из S указанным поворотом.
* Нетрудно показать, что систему х, у, z можно перевести в систему х', у', z' следующими тремя поворотами вокруг первоначальных осей: 1) повернуть на угол g вокруг первоначальной оси z; 2) повернуть на угол а вокруг первоначальной оси х; 3) повернуть на угол b вокруг первоначальной оси z.
* Второе решение меняет все знаки у а, b, с, d и отвечает повороту на -270°.
* Заметим, что если последовательность малых поворотов приведет в конце концов к первоначальной ориентации предмета, то всегда есть возможность, проследив всю историю, отличить поворот на 360° от поворота на 0° (но интересно, что для поворота на 720° это неверно).
* Конечно, подошло бы и m=-1/2. Однако из (4.17) ясно, что изменение знака просто переопределит понятие «спин вверх».
* Можно посмотреть на это и иначе. Мы просто производим преобразование к «стандартной форме», описанное в § 2, используя формулу (4.15).
* Эта глава — не что иное, как весьма абстрактное и длинное отступление от основной линии рассказа; в ней нет каких-либо новых идей, которые бы не появлялись иным путем в дальнейших главах. Поэтому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заинтересуетесь, вернуться.
Глава 5
ЗАВИСИМОСТЬ АМПЛИТУД ОТ ВРЕМЕНИ
§ 1. Покоящиеся атомы; стационарные состояния
§ 2.Равномерное движение
§ 3.Потенциальная энергия; сохранение энергии
§ 4.Силы; классический предел
§ 5. «Прецессия» частицы со спином 1/2
Повторить: гл. 17 (вып. 2) «Пространство-время»; гл. 48 (вып. 4) «Биения»
§ 1. Покоящиеся атомы; стационарные состояния
Мы хотим теперь немного рассказать о том, как ведут себя амплитуды вероятности во времени. Мы говорим «немного», потому что на самом деле поведение во времени с необходимостью включает в себя и поведение в пространстве. Значит, пожелав описать поведение со всей корректностью и детальностью, мы немедленно очутимся в весьма сложном положении. Перед нами возникает наша всегдашняя трудность — то ли изучать нечто строго логически, но абсолютно абстрактно, то ли не думать о строгости, а давать какое-то представление об истинном положении вещей, откладывая более тщательное исследование на позже. Сейчас, говоря о зависимости амплитуд от энергии, мы намерены избрать второй способ. Будет высказан ряд утверждений. При этом мы не будем стремиться к строгости, а просто расскажем вам о том, что было обнаружено, чтобы вы смогли почувствовать, как ведут себя амплитуды во времени. По мере хода нашего изложения точность описания будет возрастать, так что, пожалуйста, не нервничайте, видя, как фокусник будет извлекать откуда-то из воздуха разные вещи. Они и впрямь берутся из чего-то неосязаемого — из духа эксперимента и из воображения многих людей. Но проходить все стадии исторического развития предмета — дело очень долгое, кое-что придется просто пропустить. Можно было бы погрузиться в абстракции и все строго выводить (но вы вряд ли бы это поняли) или пройти через множество экспериментов, подтверждая ими каждое свое утверждение. Мы выберем что-то среднее.
Одиночный электрон в пустом пространстве может при некоторых условиях обладать вполне определенной энергией Например, если он покоится (т. е. не обладает ни перемещательным движением, ни импульсом, ни кинетической энергией), то у него есть энергия покоя. Объект посложнее, например атом, тоже может, покоясь, обладать определенной энергией, но он может оказаться и внутренне возбужденным -возбужденным до другого уровня энергии. (Механизм этого мы опишем позже.) Часто мы вправе считать, что атом в возбужденном состоянии обладает определенной энергией; впрочем, на самом деле это верно только приближенно. Атом не остается возбужденным навечно, потому что он всегда стремится разрядить свою энергию, взаимодействуя с электромагнитным полем. Так что всегда есть некоторая амплитуда того, что возникнет новое состояние — с атомом в низшем состоянии возбуждения и электромагнитным полем в высшем. Полная энергия системы и до, и после — одна и та же, но энергия атома уменьшается. Так что не очень точно говорить, что у возбужденного атома есть определенная энергия; но часто так говорить удобно и не очень неправильно.
[Кстати, почему все течет в одну сторону и не течет в другую? Отчего атом излучает свет? Ответ связан с энтропией Когда энергия находится в электромагнитном поле, то перед ней открывается столько разных путей — столько разных мест, куда она может попасть,— что, отыскивая условие равновесия, мы убеждаемся, что в самом вероятном положении поле оказывается возбужденным одним фотоном, а атом — невозбужденным. И фотону требуется немалое время, чтобы возвратиться и обнаружить, что он может возбудить атом обратно, Это полностью аналогично классической задаче: почему ускоряемый заряд излучает? Не потому, что он «хочет» утратить энергию, нет, ведь на самом-то деле, когда он излучает, энергия мира остается такой же, как и прежде. Просто излучение или поглощение всегда идет в направлении роста энтропии.
Ядра тоже могут существовать на разных энергетических уровнях, и в том приближении, когда пренебрегают электромагнитными эффектами, мы вправе говорить, что ядро в возбужденном состоянии таким и остается. Хоть мы и знаем, что оно не останется таким навсегда, часто бывает полезно исходить из несколько идеализированного приближения, которое проще рассмотреть. К тому же в некоторых обстоятельствах — это узаконенное приближение. (Когда мы впервые вводили классические законы падения тел, мы не учитывали трения, а ведь почти не бывает так, чтобы трения вовсе не было.)
Кроме того, существуют еще «странные частицы» с различными массами. Но более массивные из них распадаются на более легкие, так что опять неправильно будет говорить, будто их энергия точно определена. Это было бы верно, если бы они сохранялись навечно. Так что когда мы приближенно считаем их обладающими определенной энергией, то забываем при этом, что они должны распасться. Но сейчас мы нарочно забудем про такие процессы, а после, со временем выучимся принимать во внимание и их.
Пусть имеется атом (или электрон, или любая частица), обладающий в состоянии покоя определенной энергией E0. Под энергией Е0мы подразумеваем массу всего этого, умноженную на с2. В массу входит любая внутренняя энергия; стало быть, масса возбужденного атома отличается от массы того же атома, но в основном состоянии. (Основное состояние означает состояние с наинизшей энергией.) Назовем Е0«энергией покоя». Для атома, находящегося в состоянии покоя, квантовомеханическая амплитуда обнаружить его в каком-то месте всюду одно и та же; от положения она не зависит. Это, разумеется, означает, что вероятность обнаружить атом в любом месте — одна и та же. Но это означает даже большее. Вероятность могла бы не зависеть от положения, а фаза амплитуды при этом могла бы еще меняться от точки к точке. Но для частицы в покое полная амплитуда всюду одинакова. Однако она зависит от времени. Для частицы в состоянии определенной энергии Е0, амплитуда обнаружить частицу в точке (х, у, z) в момент t равна
где а — некоторая постоянная. Амплитуда пребывания в такой-то точке пространства для всех точек одинакова, но зато зависит от времени согласно (5.1). Мы просто допустим, что это правило верно всегда.
Можно, конечно, (5.1) записать и так:
