Покрытие бесконечной евклидовой плоскости различными наборами плиток полиомино (разрешено также использование зеркальных «отражений» этих плиток). Ни один из двух типов плиток набора в не может заполнить плоскость целиком.
Задача значительно осложняется при попытке заполнения плоскости плитками полиомино более сложной формы, показанными на рис. 3.12 (именно к этой ситуации относится теорема Роберта Бергера). Дело в том, что три типа показанных на рисунке плиток покрывают плоскость целиком, однако эту операцию нельзя осуществить таким образом, чтобы узор повторялся! На каждом этапе процесс заполнения определяется вашим выбором продолжения, в результате чего очень трудно установить порядок действий. Тем не менее операция, безусловно, выполнима, и именно существование таких вариантов заполнения плоскости привело Бергера к формулировке теоремы, из которой следует, что для моделирования развития даже этой игрушечной вселенной невозможно выработать вычислительную программу.
Рис. 3.12. Набор из трех типов плиток полиомино может заполнить плоскость целиком, но заполняющий узор не обладает периодичностью.
А как обстоят дела с описанием настоящей, большой Вселенной? В гл. 2 я уже немало говорил о фундаментальных недостатках существующей физической картины мира. Подумайте, нет ли в физической теории каких-то проблем, заставляющих вспомнить о невычислимости некоторых операций? У меня есть основания считать, что квантовая теория гравитации в своем правильном виде должна быть именно невычислимой. Я говорю об этом вполне серьезно и продемонстрирую вам, что проблема невычислимости возникает, по крайней мере, в двух независимых направлениях развития квантовой гравитации, причем именно тогда, когда мы рассматриваем квантовые суперпозиции четырехмерных пространств-времен (в большинстве существующих теорий используется лишь суперпозиция трехмерных пространственных состояний).
Рассмотрим сначала так называемую схему Героха-Хартля для квантовой гравитации, которая с самого начала содержит элемент невычислимости, поскольку одним из используемых в ней математических положений является доказанная Марковым невозможность вычислительной классификации четырехмерных топологических складок. Я не буду вдаваться в сложные технические детали, но хочу еще раз подчеркнуть, что невычислимость возникает естественным образом при объединении общей теории относительности и квантовой механики.
В качестве второго примера появления невычислимости в теориях квантовой гравитации можно сослаться на результаты, содержащиеся в препринте одной из работ Дэвида Дейча. К моему глубокому удивлению, в полном тексте статьи, опубликованной позднее, я не обнаружил этих данных! Я специально беседовал с автором на эту тему, и он заверил меня, что опустил эти результаты не из-за их ошибочности, а лишь потому, что они были не очень важны для статьи в целом. Он считает, что забавные суперпозиции пространства-времени (которые мы должны рассматривать хотя бы в качестве гипотетически возможных) возникают вследствие того, что некоторые из потенциально возможных вселенных могут образовывать замкнутые пространственно-временные линии (рис. 3.13). В таких ситуациях всякие каузальные (причинно-следственные) связи полностью теряют смысл, причины и следствия «бегут по замкнутому кругу», а прошлое и будущее просто перемешиваются друг с другом. Хотя все это выглядит совершенно нереальным и противофактическим, оно (как и в задаче гл. 2, связанной с испытанием бомб) может влиять на действительные события. Я не считаю эти рассуждения достаточно серьезными и убедительными, однако они показывают, что какие-то невычислимые операции могут легко обнаружиться и в совершенно правильных теоретических построениях.
Рис. 3.13. При достаточно строгом заполнении пространства-времени световыми конусами могут возникать замкнутые времениподобные мировые линии.
Далее мне хотелось бы обсудить еще один достаточно сложный вопрос. Выше я подчеркивал, что детерминизм и вычислимость представляют собой разные понятия, и это подводит нас к проблеме свободы воли. В классической философии свобода воли всегда рассматривалась в теснейшей связи с детерминизмом. Вы и сами, наверняка, сталкивались с этой проблемой и размышляли о том, насколько наше будущее определяется нашим прошлым и т. п. Мне кажется, что есть масса других более интересных и важных вопросов, например: «Определяется ли наше будущее нашим прошлым вычислимым образом?».
Такие рассуждения связаны со столь многими и разнообразными проблемами, что я могу только упомянуть некоторые из них, не пытаясь даже как-то отвечать. Например, существует вечный спор о том, насколько наши поступки определяются 7нашей наследственностью, а насколько — нашим окружением. Интересно и странно, что в этой связи очень редко рассматривается роль случайных факторов. Ведь мы не можем контролировать все обстоятельства нашего окружения, поэтому, возможно, нам следовало бы задать себе простой вопрос: «Существует ли нечто (возможно, это именно то, что мы именуем Я), которое отличается от окружения и не зависит от посторонних воздействий?». Такая постановка вопроса, кстати, часто используется в обычной юридической практике. Например, проблема прав и обязанностей, безусловно, связана с действиями некоторого независимого субъекта, действительно именуемого «Я». Конечно, эта проблема очень сложна и деликатна. Прежде всего нам следовало бы, конечно, ввести ясные определения понятий детерминизм и недетерминизм. Обычно недетерминизм подразумевает именно наличие случайных факторов или элементов, однако этого явно недостаточно для решения проблемы, поскольку некоторые случайные элементы вполне могут контролироваться. Возможно, в таких случаях следует говорить о невычислимости или даже о невычислимости более высокого уровня. Удивительно, но доводы типа гёделевских оказываются реально применимыми на разных уровнях (даже на том уровне, который Тьюринг называл машиной предсказаний), т. е. они обладают значительно более общим смысловым содержанием, чем это было представлено мною выше. Поэтому следует считать что вопрос о наличии более высоких уровней невычислимости может быть связан с поведением реальной Вселенной или, возможно, с тем понятием, которое мы воспринимаем в качестве нашей свободы воли.
Следующий вопрос относится к уже упомянутому мной «контакту» с миром платоновских идей. В чем, собственно говоря, состоит этот контакт и каков его характер? В сущности, можно указать огромное количество так называемых «миров» с участием невычислимых элементов — судебное дело, здравый смысл, озарение, эстетическое чувство, сострадание, мораль... Мне представляется, что все эти области жизни и сознания характеризуются наличием элементов невычислимости. До сих пор я говорил о мире платоновских идей главным образом в математическом смысле, однако в идеях Платона есть и другая сторона, которую нельзя игнорировать. Абсолютные платоновские идеи ассоциировались не только с истиной, их другими характеристиками выступали добро и красота. Поэтому любой контакт с платоновскими идеями, доступный человеческому разуму и не сводящийся к вычислительным операциям (или вычисляемому поведению), представляется мне чрезвычайно важным.
А теперь давайте задумаемся о работе нашего собственного мозга. На рис. 3.14 представлен небольшой участок мозга, относящийся к очень важной структуре — нейронной системе. Важной частью каждого нейрона является так называемый аксон, представляющий собой очень длинное нервное волокно, которое расщепляется в различных местах на отдельные, более тонкие волокна, которые затем собираются или объединяются в специальных образованиях, называемых синапсами. Синапсы в основном играют роль узлов связи при передаче сигналов между нейронами посредством химических соединений (так называемых нейропередатчиков). Некоторые синапсы по природе являются возбудителями (т. е. поступление в них веществ нейропередатчиков приводит к возбуждению связанных с синапсом нейронов), а другие — ингибиторами, тормозящими передачу сигналов к нейронам. Работу синапса при передаче информационного сигнала от одного нейрона к другому характеризуют параметром, именуемым силой синапса. Если бы все синапсы обладали одинаковой силой, то человеческий мозг действительно очень напоминал бы компьютер. Однако я сразу отмечу, что силы синапсов не являются постоянными величинами, и у специалистов есть множество теорий относительно закономерностей их изменений. В качестве примера можно привести одну из первых гипотез в этой области, механизм Хебба. Проблема заключается в том, что предполагаемые закономерности почти всегда являются вычислительными, и лишь очень редко (практически всегда безуспешно) исследователи пытаются учесть элементы случайности. Задавая какую-либо смешанную, вычислительно-вероятностную теорию изменения сил синапсов, можно моделировать поведение системы нейронов и синапсов на компьютере (напоминаю, что вероятностные элементы поведения моделируются очень легко), в результате чего мы можем получать некоторое описание рассматриваемой системы (типа схемы на рис. 3.15).
