Ознакомительная версия.
s=5?5,0012=5?25,010001=125,050005 м.
Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t0 (например, 5 сек). Расстояние, которое пройдено к моменту t0 (назовем его s0), будет 5t02 (в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t0+ (небольшой добавок), или t0+?? Новое положение тела будет 5(t0+?)2=5t02+10t0?+5?2. (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t0 сек, т. в. больше 5t02). Назовем это расстояние s0+ (небольшой добавок), или s0+x. Если теперь вычесть из него расстояние, пройденное к моменту t0, то получим х – то дополнительное расстояние, которое шарик прошел за добавочное время ?, т. е. x=t0?+5?2. Так что в первом приближении скорость будет равна
v=x/?=10t0+5?. (8.4)
Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить скорость точно в момент t0: нужно брать отрезок ? все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравнения (8.4) получим
v (в момент t0) = 10t0,
В нашей задаче t0=5 сек, следовательно, скорость равна v=10?5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда ? бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действительности она в точности равна 50 м/сек.
§ 3. Скорость как производная
Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ? и x: было придумано специальное обозначение: ? обозначается как ?t, а х – как ?s. Величина ?t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок ? ни в коем случае не означает умножение на какую–то величину, точно так же как sin? не означает sin?. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок ? напоминает нам о его особом характере. Ну, а если ? не множитель, то его нельзя сократить в отношении ?s/?t. Это все равно, что в выражении sin?/sin2? сократить все буквы и получить 12. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения ?s/?t при ?t, стремящемся к нулю, т. е.
(8.5)
Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.
Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. ?s=v?t. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала ?t, а это, вообще говоря, происходит, только когда ?t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени ?t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал ?t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение ?s = v?t будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид
Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t2, или просто производную от 5t2. Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s=At3+Bt+C, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+?t, причем к s прибавится некоторая добавка ?s, и найдем, как выражается ?s через ?t. Поскольку
s+?s=A(t+?t)2+Bt+?t+C=At3+Bt+C+3At2?t+B?t+3At+3At(?t)2+A(?t)3
а
s=At3+Bt+C,
то ?s=3At2?t+B?t+3At+3At(?t)2+A(?t)3.
Но нам нужна не сама величина ?s, а отношение ?s/?t. После деления на ?t получим выражение
?s/?t=3At2+B+3At?t+A(?t)2, которое после устремления ?t к нулю превратится в
?s/?t=3At2+B.
В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (?t)2 или (?t)3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ?t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.
Таблица 8.3 некоторые производные
s, u, v, w – произвольные функции;
а, b, с, n – произвольные постоянные.
§ 4. Расстояние как интеграл
Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено?
Таблица 8.4 скорость падающего шара
Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где–то останавливается у светофора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет v1 , тогда по формуле ?s= v1?t можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В результате мы получим много маленьких отрезков, которые в сумме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s = ?v?t, где греческая буква ? (сигма) означает суммирование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем ti , умноженные на ?t:
(8.6)
причем каждый последующий момент ti+1 находится по правилу ti+1=ti+?t. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время ?t все же изменяется. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы ?t, т. е. разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути:
(8.7)
Математики придумали для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок ? превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ? – искаженное большое S, первая буква латинского слова «Summa». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем
s=?v(t)dt, (8.8)
где v(t) – скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противоположна операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничтожает» другой (?). Это дает возможность получать формулы для интегралов путем обращения формул для дифференциалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Дифференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.
Ознакомительная версия.
