F =m(dv/dt)=ma, (9.2)
где а — ускорение, т. е. «скорость изменения скорости». Второй закон Ньютона означает не только то, что изменения, вызванные данной силой, обратно пропорциональны массе, но и то, что направление изменения скорости совпадает с направлением действия силы. Важно понимать, что термин «ускорение» имеет в физике более широкий смысл, чем в обычной разговорной речи. Он означает не только увеличение скорости, но и замедление ( в этом случае мы говорим, что ускорение отрицательно), и перемену направления движения. В гл. 7 мы уже познакомились с ускорением, направленным под прямым углом к скорости, и мы видели, что предмет, движущийся по окружности радиусом R со скоростью v, за малый интервал времени t уклоняется от своего прямого пути на расстояние 1/2(v2/R)t2. Так что в этом случае ускорение направлено под прямым углом к направлению движения и равно
a =v2/R. (9.3)
Таким образом, сила, действующая под прямым углом к скорости, вызывает искривление пути, причем радиус кривизны можно найти, деля силу на массу тела (при этом мы получаем ускорение) и используя затем формулу (9.3).
Термин «скорость» тоже имеет в физике более широкий смысл, чем в обыденной жизни. Это не просто некоторое количество метров в секунду, т. е. абсолютная величина скорости, но и направление перемещения в каждый момент времени. Математически мы можем описать и величину, и направление скорости, если будем задавать изменение координат тела с течением времени. Пусть, например, в некоторый момент тело движется так, как это показано на фиг. 9.1.
Фиг. 9.1. Малое перемещение тела.
Тогда за малый промежуток времени Dt оно пройдет некоторое расстояние Dx в направлении оси х, Dy в направлении оси у и Dz в направлении оси z. Результатом же этих изменений координат будет перемещение Ds вдоль диагонали параллелепипеда со сторонами Dx, Dy, Dz, которые следующим образом связаны с составляющими скорости и интервалом:
Dx=vxDt, Dy=vyDt, Dz=vzDt. (9.4)
§ 2. Компоненты скорости, ускорения и силы
В уравнении (9.4) мы разложили скорость на составляющие (или компоненты), которые говорят нам, насколько быстро продвигается тело в направлениях х, у и z. Скорость будет полностью определена как в отношении ее направления, так и абсолютной величины, если задать числовые значения трех ее компонент:
При этом абсолютная величина равна
Теперь пусть под действием силы меняется не только величина, но и направление скорости (фиг. 9.2). Хотя это довольно сложный случай, но с помощью подсчета изменения компонент его рассмотрение сильно упрощается. Изменение x-компоненты скорости за интервал Dt будет Dvx=axDt, где ах то, что называется x-компонентой ускорения. Совершенно аналогично Dvx =aуDt и Дvz=atDt. В такой формулировке Второй закон Ньютона фактически превращается в три закона. Действительно, мы говорим, что сила имеет то же направление, что и ускорение, так что каждая из составляющих силы в направлениях х, у и z равна массе, умноженной на изменение соответствующей компоненты скорости:
Подобно скорости и ускорению, сила тоже может быть разложена на компоненты, причем каждая из них является проекцией отрезка прямой, численно равного абсолютной величине силы и указывающего направление ее действия, на оси х, у и z:
где F — абсолютная величина силы, a (xF), (yF) и (zF)— углы между направлением силы и осями х, у и z соответственно.
Уравнения (9.7) представляют собой полную форму Второго закона Ньютона. Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты, можно с помощью этих уравнений найти движение тела. Давайте рассмотрим простой пример. Пусть в направлениях х и у не действуют никакие силы, а есть сила только в направлении z (скажем, вертикально). Тогда, согласно уравнению (9.7), изменяется только одна вертикальная составляющая скорости; что же касается горизонтальных, то они будут оставаться неизменными. Пример такого движения уже рассматривался в гл. 7 (см. фиг. 7.3). Таким образом, горизонтальное движение падающего тела остается неизменным, тогда как в вертикальном направлении оно движется так, как будто никакого горизонтального движения вообще нет. Другими словами, если компоненты сил не связаны друг с другом, то и движения в направлениях осей х, у и z будут независимы.
§ 3. Что такое сила?
Чтобы пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую-то формулу для сил; ведь эти законы говорят нам: подумайте о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на него что-то действует. А как найти это «что-то»? Нашей программой на будущее должно быть отыскание законов для сил. Некоторые из таких законов были найдены самим Ньютоном. Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода содержится в Третьем законе, который утверждает равенство сил действия и противодействия, но об этом более подробно пойдет речь в следующей главе.
Продолжим наш предыдущий пример. Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли? Это — сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших, чем радиус Земли R, почти не зависящая от высоты; она равна F=GmM/R2=mg, где g=GM/R2— так называемое ускорение силы тяжести. В горизонтальном направлении тело по-прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении более интересно. По Второму закону Ньютона
После сокращения массы m получаем, что ускорение в направлении х постоянно и равно g. Это хорошо известное движение свободно падающего тела, которое описывается уравнениями
Рассмотрим другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг. 9.3), в котором сила прямо пропорциональна отклонению от положения равновесия и направлена противоположно ему,— это пружина с грузиком.
Фиг. 9.3. Грузик на пружинке.
Действительно, поскольку сила тяжести компенсируется начальным натяжением пружины, то имеет смысл говорить только об избыточной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем больше растягивается пружина и тем сильнее она тянет его вверх, и наоборот. Наблюдая за работой этого устройства, мы видим довольно интересное движение: вверх — вниз, вверх — вниз... Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правильно описать его? Если применить закон Ньютона (9.7) для такого периодического осциллятора, то получим следующее уравнение:
т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда x-компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной х. Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что-то произошло с другими единицами измерения, словом, они выбраны так, что klm равно единице. Итак, будем пытаться решать уравнение
Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое vx; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно.
§ 4. Смысл динамических уравнений
Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени t тело находится в точке х и движется со скоростью vx. Каково будет его положение и скорость спустя небольшой промежуток времени, т. е. в момент t+e? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т. е. положения и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т. д. Таким образом, шаг за шагом выстраивается вся картина движения. Для большей определенности предположим, что в момент t=0 положение грузика х=1, а его скорость vx=0. Почему вообще движется грузик? Да потому, что на него в любом положении, за исключением положения равновесия х=0, действует сила. Если х>0, то эта сила направлена вверх. Следовательно, скорость, которая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает возрастать, грузик приходит в движение. Для любого момента времени t при очень малом е можно с достаточно хорошей точностью найти положение в момент t+е через скорость и положение в момент t:
x(t+e)=x(t)+ evx(t). (9.13)
Конечно, это выражение тем точнее, чем меньше e, но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал e не исчезающе мал. Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент t+e, очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. А как узнать его? Вот здесь-то нам на помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, чему равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно -x. Поэтому
