а — треугольник в евклидовом пространстве; б — треугольник в пространстве Лобачевского.
Очень важную роль в геометрии играют так называемые действительные (вещественные) числа, абсолютно необходимые для построений евклидовой геометрии. Такие числа ввел древнегреческий математик Евдокс в 4 веке до н.э., и они до сих пор сохраняют свое значение для создания физической картины мира. Позднее мы будем говорить и о комплексных числах, но последние также основаны на представлении о вещественных числах.
Давайте рассмотрим еще одну гравюру Эшера (рис. 1.19), которая демонстрирует особенности геометрии Лобачевского даже нагляднее, чем рис. 1.17 (поскольку на ней использованы «прямые линии», которые всегда выглядят более очевидными). На рисунке показаны дуги окружностей, пересекающие границу под прямым углом. Обитатель мира с геометрией Лобачевского воспринимал бы прямую линию как одну из этих дуг, что хорошо видно на рис. 1.19, где «по-настоящему прямыми» являются лишь линии, проходящие через центр окружности, а все остальные «прямые» в действительности представляют собой изогнутые дуги. Некоторые из этих «прямых» показаны на рис. 1.20, где я дополнительно выделил точку, не лежащую на истинной прямой (т. е. не на диаметре). Обитатель мира Лобачевского может провести через эту точку две (и даже больше) различные линии, которые не будут пересекать диаметр, т. е. в этой геометрии пятый постулат Евклида безусловно не имеет силы. Более того, измерив сумму углов треугольника на рисунке, вы можете вычислить его площадь. Надеюсь, что даже эти обрывочные сведения дают возможность почувствовать необычность и очарование мира с гиперболической геометрией.
Рис. 1.19. Гравюра М. К. Эшера «Предельная окружность 1».
Рис. 1.20. Некоторые особенности гиперболической геометрии (пространства Лобачевского), поясняющие построения гравюры «Предельная окружность 1».
Я уже говорил, что мне очень нравится гиперболическая геометрия, созданная Лобачевским. Одной из причин моего пристрастия является и то, что группой симметрий этого пространства выступает уже знакомая нам группа Лоренца, соответствующая симметрии специальной теории относительности и световых конусов, играющих в этой теории столь важную роль. На рис. 1 .21 световой конус показан более подробно. Я нарочно убрал одну из пространственных координат, чтобы продемонстрировать вам наглядную трехмерную картину. Показанный на рисунке световой конус описывается простым уравнением
t2 - x2 - y2 = 0.
Рис. 1.21. Пространство Лобачевского, «вложенное» (в виде гиперболоидов) в пространство-время Минковского.
Стереографическая проекция переводит его в так называемый диск Пуанкаре, ограниченный окружностью на плоскости t = 0.
В такой геометрии (ее называют геометрией Минковского) уравнению t2 - x2 - y2 = 0 соответствуют две чашеобразные поверхности, расположенные на «единичном расстоянии» от начала координат («расстоянию» в геометрии Минковского соответствует реальное время, т. е. время, измеряемое в физическом эксперименте при помощи движущихся часов). В пространстве Минковского эти поверхности служат «сферами», и можно показать, что внутренняя геометрия таких сфер является гиперболической (пространство Лобачевского). В евклидовой геометрии вы можете вращать обычную сферу и найти группу симметрии, соответствующую таким вращениям. В случае поверхностей, изображенных на рис. 1.21, группа симметрий представляет собой группу вращений Лоренца, которая описывает преобразование пространства и времени при вращении, т. е. при вращении единого пространства-времени вокруг некоторой фиксированной точки. В таком представлении группа симметрий пространства Лобачевского точно совпадает с группой Лоренца.
На рис. 1.21 для пространства Минковского показана также стереографическая проекция, подобная рассмотренной выше (рис. 1.10, в). Вместо южного полюса на рис. 1.21 используется точка (-1, 0, 0), а точки верхней «чаши» проецируются на плоскость t = 0, которая выступает аналогом экваториальной плоскости на рис. 1.10, в. Все точки после проецирования лежат внутри окружности в плоскости t = 0, которую называют иногда диском Пуанкаре. В результате операции в целом (которая, кстати, в точности совпадает с художественным приемом, использовавшимся М.Эшером в его гравюрах «Предельная окружность») гиперболическая поверхность (пространство Лобачевского) преобразуется в диск Пуанкаре. Более того, такое преобразование соответствует главной особенности проекции рис. 1.10, в — оно сохраняет все углы и окружности, придавая операции геометрическое изящество. Я просто восхищаюсь всеми этими совпадениями, с которыми математики постоянно встречаются в своих исследованиях!
Надеюсь, что мой восторг не показался вам чрезмерным. Существует интересная и несколько загадочная психологическая закономерность: если результаты исследования какой-то заинтересовавшей вас проблемы (например, геометрической) выражаются красивой математической формулой, то это поддерживает интерес исследователя и стимулирует дальнейшую работу (совершенно аналогично результаты, не обладающие математическим изяществом, обычно разочаровывают и обескураживают исследователя). Гиперболической геометрии присуща особая математическая красота, и было бы очень приятно (мне лично, по крайней мере), если бы Вселенная была построена столь математически красиво. Разумеется, у меня есть очень много других причин для веры в такое устройство Вселенной. Многим не нравится идея о гиперболической, открытой Вселенной, и они предпочитают модели замкнутых вселенных (типа показанных на рис. 1.16, б), которые, вполне возможно, кажутся им более приятными и уютными (разумеется, стоит отметить, что такие замкнутые вселенные все еще остаются весьма крупными). Другие ученые предпочитают модели плоского мира (рис. 1.16, а), поскольку среди теорий зарождения Вселенной существует и так называемая теория раздувающейся Вселенной, предполагающая плоскую геометрию мира. Должен сказать, что я не очень доверяю этим теориям.
Описанные выше три стандартных типа моделей Вселенной, известные под общим названием моделей Фридмана, отличаются исключительно высоким уровнем симметрии. Все они описывают расширение, однако Вселенная при этом остается совершенно однородной в любой момент времени. Это условие входит в структуру моделей Фридмана и получило специальное название космологического принципа. В моделях Фридмана свойства Вселенной одинаковы по всем направлениям, и похоже, что наша Вселенная устроена действительно по этому принципу. Если уравнения Эйнштейна справедливы (а выше я говорил о том, что его теория с высокой степенью точности соответствует наблюдаемым явлениям), то к моделям Фридмана следует относиться весьма серьезно. Отметим, что во всех этих моделях присутствует не очень «изящный» с точки зрения физики Большой Взрыв (состояние сверхгорячей Вселенной с бесконечной плотностью и другими сингулярными параметрами, которые очень трудно описывать теоретически). Однако если мы все же смиримся с возможностью существования этого сверхнагретого и сверхплотного физического состояния, то сможем предсказать развитие мира вплоть до настоящего времени. Одно из важнейших предсказаний такого типа относится к тепловому состоянию Вселенной. Теоретический расчет показывает, что в ней должно присутствовать однородное фоновое излучение, спектр которого должен соответствовать известному в физике излучению черного тела. Именно такой тип космической радиации (получивший название микроволнового фонового излучения) был открыт Пензиасом и Вильсоном в 1965 г., что стало одной из главнейших научных сенсаций нашего времени. На рис. 1.22 представлена спектральная кривая этого излучения (полученная при помощи спутника СОВЕ), которая с очень высокой степенью точности совпадает с хорошо известным из учебников спектром абсолютно черного тела.
Рис. 1.22. Результаты измерений спектра космического микроволнового фонового излучения
(точки на рисунке), полученные при помощи спутника СОВЕ, прекрасно совпадают с расчетной кривой (сплошная линия), полученной из «тепловой» теории Большого Взрыва.
Для всех специалистов по космологии существование этого фонового излучения стало убедительным доказательством того, что наша Вселенная когда-то находилась в очень горячем и плотном состоянии. Излучение сообщает нам нечто об исходном состоянии Вселенной и, хотя не дает полной информации, совершенно определенно свидетельствует о том, что событие типа Большого Взрыва действительно когда-то произошло.
