Самый ранний текст «Шульба-сутры» был написан приблизительно в 800–600 годах до нашей эры, еще до кодификации санскрита Панини. Геометрия выросла из потребности соответствовать размеру, форме и ориентации алтарей, определенных в священных текстах «Вед». Абсолютная точность была столь же важна для эффективности ритуала, как и правильное произнесение мантр. Геометрия выражена тремя основными способами: явно сформулированные геометрические теоремы; процедуры, необходимые для того, чтобы строить различные формы алтарей; алгоритмы, связанные с предыдущими двумя группами. Самая важная теорема — теорема Пифагора прямоугольных треугольников.
Один пример иллюстрирует, как теоретические результаты шли бок о бок с практическими задачами. Используя теорему Пифагора, всегда можно построить квадрат, площадь которого равна удвоенной площади заданного квадрата. Но если мы начинаем с двух реальных квадратов, скажем сделанных из ткани, каков самый эффективный способ разрезать их и снова сложить куски так, чтобы составить больший квадрат? Хотя этот тип построения не приводится в «Шульба-сутре» в явном виде, существует свидетельство подобных конкретных способов рассуждения. Один из ключей — приближение, используемое для вычисления √2, которое осуществляется с точностью до пятого десятичного знака: «Увеличьте измерение на треть от него, а эту треть — на четверть от этой трети минус тридцать четвертую часть от этой четверти». Это могло отображать разделение одного из квадратов на подходящие прямоугольники и расположение их вокруг другого квадрата, чтобы построить квадрат двойной площади. Этот подход имеет аналоги в китайской геометрии, а результат очень близок к тому, который получали вавилоняне.
Учитывая выдающееся положение индо-арабских цифр в десятеричной системе со знакоместом, стоит кратко вспомнить раннюю историю индийских цифр. Цифры «кхарошти» можно увидеть на надписях, относящихся к четвертому столетию до нашей эры. В них есть особые символы для единицы и четверки, а также для десяти и двадцати. Числа свыше сотни получаются путем сложения. Самые ранние следы цифр «брахми» относятся к третьему столетию до нашей эры, их можно увидеть на колоннах Ашоки, разбросанных по всей Индии. Это более развитая система, в нее входили специальные символы для чисел, кратных десяти и ста, а также для значений второго десятка. Датировка чисел «бакшали» (по названию города, где они были обнаружены) крайне ненадежна, но если она все же верна, то эти числа, относящиеся к третьему веку нашей эры, — первая известная система с учетом знакоместа, где было специальное обозначение для ноля. Там было всего десять символов, но ими можно было выразить любое число, сколь угодно большое. Цифры «гвалиор» (тоже по названию города) девятого века нашей эры узнаваемо похожи на наши современные, это первое бесспорное появление ноля в индийской надписи, За пределами Индии, но тем не менее в рамках ее культурного влияния мы находим кхмерскую надпись в Камбодже, датированную 683 годом, в которой используется ноль.
Классический период индийской математики начался в середине первого тысячелетия. Большей частью Индии правила династия Гуптов, которые поощряли исследования в области наук и искусств. Математическая деятельность была сконцентрирована в трех центрах: в столице Паталипутре (современная Патна), в Удджайне на севере и в Майсуре на юге. Два самых крупных математика этого периода — это Ариабхата (476–550), автор «Ариабхатии» (499), и Брахмагупта (ок. 598–660), который в 628 году сочинил трактат под названием «Брахма-спхута-сидцханта» («Открытие Вселенной»). Основными задачами, которыми занимались эти ученые, были математическая астрономия и анализ уравнений.
«Ариабхатия» состоит из 123 стихов. Трактат начинается с восхваления богам, а затем в нем описываются алгоритмы для вычисления квадратов, кубов, квадратных и кубических корней. В работе приведены 33 правила по арифметике, алгебре и тригонометрии на плоскости. Семнадцать правил посвящены геометрии, 11 — арифметике и алгебре. В десятом правиле приводится значение π как отношение 62,832:20,000, что эквивалентно 3,1416, — это самое точное значение, вычисленное в то время, и оно останется таковым еще тысячу лет. Трактат включает также таблицу синусов. В отличие от Птолемея, использовавшего в качестве основной меры хорды, индусы использовали полухорды и выражали их в радиусах. Поэтому, за исключением постоянного множителя, индийские синусы намного ближе к нашим современным. Разделив четверть окружности на 24 равные части и начав с нескольких базовых результатов и формул, вроде sin 30° = 1/2, Арьябхата составил таблицу синусов для углов от 3°45′ и выше. Ему также приписывают создание формулы, позволяющей приблизительно оценить синус любого угла без использования таблицы с точностью до нескольких десятичных знаков.
Позже Брахмагупта создал формулу интерполяции, используя арифметический метод разностей, чтобы найти синусы промежуточных углов. В дальнейшем тригонометрию развивали арабы на севере и математики Кералы на юге. Арабы, а затем и западный мир познакомились с индийской математикой и астрономией отчасти благодаря переводу «Брахма-спхута-сиддханты».
Брахмагупта основал ставшую широко известной школу в Удджайне. Его «Брахма-спхута-сиддханта» — самый полный трактат по астрономии того времени. В некоторых разделах этого труда производится анализ неопределенностей, взятых из календарных вычислений и астрономии. Арьябхата решал линейные неопределенные уравнения, используя алгоритм Евклида, описанный в «Началах», — сокращение коэффициентов до тех пор, пока уравнения не будет удобно решать методом проб и ошибок. Брахмагупта приводит алгоритм для решения в целых числах уравнений вида ах2 ± с = у2, которые геометрически представляют собой гиперболы. В Европе эта формула получила известность под названием «уравнение Пелля»[6].
Позднее знаменитый индийский математик Бхаскара (Бхаскарачарья) (1114 — ок. 1185) улучшил эти методы, создав «циклический» метод, известный как «чакравала» (метод нахождения наименьшего нетривиального решения). Он привел решение известной задачи — уравнения 61х2 + 1 =у2. Это та самая задача, над которой Пьер Ферма бился в семнадцатом столетии и решение которой было найдено Жозефом Луи Лагранжем лишь сто лет спустя. Но даже и в восемнадцатом веке алгоритм «чакравала» был намного более эффективен. Наименьшие решения: х = 226 153 980, у = 1 766 319 049.
Ни в «Ариабхатии», ни в «Брахма-спхута-сиддханте» не доказываются представленные там результаты. Но это не означает, что их авторы не знали доказательств или не понимали, насколько важно продемонстрировать обоснованность приведенных правил. То, что индийские математики осознавали необходимость доказательств, видно хотя бы из того, что Бхаскара отклонил джайнистское приближенное значение π, представленное как √10: хотя и численно близкое, оно не сопровождалось никакими внятными объяснениями. В любом случае индийские математики не ограничивались только лишь представлением методов расчета и результатов, эти результаты проверялись и перепроверялись много раз, что, в свою очередь, способствовало возникновению еще более строгих методик.
Бхаскара из Удджайны был выдающимся математиком. Ему приписывается открытие некоторых понятий из области вычислений, которые стали широко известны намного позже. Трактаты Бхаскары издавались даже в девятнадцатом столетии. Одним из аспектов индийской астрономии было исследование мгновенных движений планет, особенно Луны. Были сделаны удивительно верные расчеты времени затмений, поэтому будущие затмения могли быть предсказаны с невероятной точностью. И Ариабхата, и Брахмагупта использовали для этого одну и ту же формулу, а Бхаскара усовершенствовал метод расчета, выведя то, что можно считать дифференциалом синуса. В его трактате «Сиддханта-широмани» («Венец учения») используется «бесконечно малая» единица измерения — «трути», равная 1/33,750 секунды. По сути, в определенном смысле трактат Бхаскары можно рассматривать как предварение математического анализа, но, похоже, этот «пред-анализ» не рассматривался как самостоятельная тема и не распространялся на другие ветви математики.
Впоследствии Ньютон в своем математическом анализе будет активно использовать бесконечные ряды. Особенно полезным достижением индийской математики была аппроксимация синусов и косинусов полиномами с бесконечным числом членов — работы именно в этом направлении мы можем увидеть у математиков Кералы. После Бхаскары успехи индийской математики были невелики — страну охватил политический хаос. Но юго-западная Индия оставалась в значительной степени защищенной от этих потрясений, так что там математика могла развиваться вплоть до четырнадцатого — семнадцатого веков. Керала была центром морской торговли, туда стекались люди из самых разных стран. Конечно, необходимо более точно изучить историческую роль Кералы в продвижении математических идей, но некоторые результаты указывают на то, что математика там процветала.
