В этом смысле Карл Вейерштрасс (1815—1897) пересмотрел определение предела Коши и убрал из него геометрические элементы, в частности формулировки «бесконечно приближаются», «бесконечно уменьшаются» и «меньше любой заданной величины», заменив их арифметическими выражениями, в которых фигурировали величины эпсилон и дельта, используемые и сейчас: «Предел функции f(х) равен 1, когда x стремится к а, если для любого положительного ε > 0 существует другое положительное число δ > 0 такое, что для любой точки x, в которой определена данная функция, выполняется неравенство 0 < |f(x) — 1| < ε.
С конца 1850-х до конца 1880-х годов Вейерштрасс преподавал в Берлинском университете. Он не публиковал свои лекции, и данные им определения дошли до нас из конспектов его учеников. Начиная со второй половины XIX века Германия постепенно становилась мировым математическим центром, придя на смену Франции, что способствовало эффективному распространению анализа Вейерштрасса.
Начиная с Эйлера и в особенности после того, как усилиями Коши и Вейерштрасса был выстроен фундамент анализа бесконечно малых, эта дисциплина стала ядром математического анализа. Функции, пределы, производные и интегралы — фундаментальные инструменты математического анализа. С их помощью великое множество физических, технических, экономических и даже медицинских задач можно свести к уравнениям, где будут одновременно использоваться функции, их производные и интегралы. Так, задачи поиска оптимальной формы крыла самолета, определения кровяного давления в венах и артериях организма или выявления роста раковых опухолей решаются с помощью уравнений такого типа.
Эти уравнения формулируются с использованием понятий математического анализа, в том числе анализа функций нескольких переменных, а также законов физики. Однако составить такие уравнения — это одно, а уметь решать их — совсем другое. Решения некоторых подобных уравнений были однозначно определены, уже когда Ньютон и Лейбниц создали анализ бесконечно малых, однако большинство из них настолько сложны, что и сегодня не существует способов их точного решения. Математический анализ также описывает методы приближенного и численного решения подобных уравнений, позволяющие найти их корни с определенной точностью. С появлением современных компьютеров в середине XX века в этой области математического анализа произошла революция.
Обычные люди, как правило, удивляются, когда слышат, что математики до сих пор совершают новые открытия. В действительности же их число с каждым годом увеличивается экспоненциально. Когда кто-то говорит, что занимается работами в новой области математики, несведущие задают вопрос: «А разве в ней еще не все известно?» Разумеется, это не так. Нам неизвестно множество уравнений, описывающих загадки природы, решение которых будет способствовать прогрессу человечества. Технологический прогресс и развитие медицинских и экономических методов ставят перед учеными новые задачи, и математикам ежедневно приходится их решать.
Эта книга начинается с фразы: «Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками». Однако наука ставит перед нами столько задач, что в математическом анализе, пришедшем на смену анализу бесконечно малых, непрерывно требуется разрабатывать новые техники и приемы их решения.
Приложение.
Эйлер и бесконечно малые
Чтобы показать, как используются бесконечно большие и малые величины, приведем пример разложения функции ez в степенной ряд. Этот пример продемонстрирован Эйлером в книге «Введение в анализ бесконечно малых». Сначала Эйлер определяет число е следующим образом. Показательные функции аz, а > 1, описывают множество кривых, которые имеют общую точку (0, 1). Угол наклона касательной к этим кривым в этой точке зависит, разумеется, от основания степени а и бесконечно возрастает от 0, соответствующего а = 1. Число е определяется как число, для которого тангенс угла наклона касательной ez в точке (0,1) равен 1. Иными словами, касательная к кривой е2 в точке (0, 1) описывается уравнением 1 + z. Так как Эйлер понимал кривые как многоугольники со сторонами, имеющими бесконечно малую длину, это означает, что бесконечно малый отрезок кривой у = ez, находящийся в точке с координатами (0,1), что соответствует е0 = 1, совпадает с прямой у = 1 + z. Для бесконечно малых чисел w получим, что они находятся одновременно на прямой и на кривой, которые совпадают на этом бесконечно малом участке. Таким образом, для бесконечно малого w выполняется равенство ew = 1 + w. Для Эйлера это было не приближенное, а строгое равенство.
С учетом этого будем записывать данное число z в виде произведения бесконечно малого числа w на бесконечно большое число N:z = wN. Допустим, что z = 2, и запишем его в следующем виде
Таким образом,
и N = 2 ∙ 101000000. Однако этого недостаточно: это значение w очень мало, но не является бесконечно малым, равно как и N не является бесконечно большим.
Тем не менее читатель легко представит разницу между очень малым и очень большим и между бесконечно малым и бесконечно большим. С учетом свойств показательной функции можно записать: ez = ewN — (ew)N. Так как w является бесконечно малым, то, учитывая равенства, изложенные в нашей дискуссии о касательных, получим: еz = (1 + w)N. Так как w = z/N, это означает:
где N — бесконечно большое число. Запишем это равенство в следующем виде:
Применим теорему о биноме:
Так как N — бесконечно большое, получим, что N — 1 = N, N — 2 = N и так далее, что позволяет преобразовать равенство:
Заметим, что в методе Эйлера для разложения показательной функции в ряд бесконечно большие и бесконечно малые числа появляются и исчезают, подобно предметам в руках у фокусника. Тем не менее они используются не напрасно: они помогают преобразовать функцию и выявить ее важные скрытые свойства.
Этот метод Эйлера по разложению в ряд кажется недостаточно строгим, но здесь не идет речь о логической строгости рассуждений Эйлера. К тому же следует отметить, что на самом деле они всего лишь подразумевают использование более сложной логики, чем та, что лежит в основе стандартного анализа.
В некотором смысле эти выкладки Эйлера демонстрируют его гениальность. Как мы уже говорили в главе 6, Хобсон так отзывался о «Введении в анализ бесконечно малых»: «Будет непросто найти другой труд в истории математики, который оставляет у читателя такое впечатление о гениальности его автора, как этот».
AlTON, E.J., Leibniz. Una biografia, Madrid, Alianza Editorial, 1992.
BARON, M.E., The Origins of the Infinitesimal Calculus, Oxford, Pergamon, 1969.
DURAN, A.J., Historia, con personajes, de los conceptos del cdlculo, Madrid, Alianza
Editorial, 1996.
DURAN, A.J., (coordinador), El legado de las matemdticas, Sevilla, Real Sociedad
Matematica Espanola у otros, 2000.
DURAN, A.J., La polemica sobre la invencion del cdlculo infinitesimal, Barcelona, Critica, 2006.
DURAN, A.J., Pasiones, piojos, dioses… у matemdticas, Barcelona, Destino, 2009.
DURAN, A.J., Cauchy, hijo rebelde de la revolution, Madrid, Nivola, 2009.
EULER, L., Introductio in analysin infinitorum, edicion facsimilar у critica con traduction al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2000.
EDWARDS, C.H,, The Historical Development of the Calculus, Nueva ^fork, Springer-Verlag, 1979.
HALL, A.R., Philosophers at War, Cambridge, Cambridge University Press, 1980.
HOFMANN, J.E., Leibniz in Paris, 1672-1676. His Growth to Mathematical Maturity, Cambridge, Cambridge University Press, 1974.
MANUEL, F.E., A Portrait of Isaac Newton, Harvard University Press, Cambridge
(Mass.), 1968.
NEWTON, L, The Mathematical Papers of Isaac Newton, edicion de D.T. Whiteside,
Cambridge, Cambridge University Press, 1967-1981.
NEWTON, I., Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias, edicion facsimilar у critica con traduccion al castellano de J.L. Arantegui у notas de Antonio J. Duran, Sevilla, Real Sociedad Matematica Espanola у SAEM Thales, 2003.
WESTFALL, R.S., Never at Rest; a Biography of Isaac Newton, Cambridge, Cambridge University Press, 1983.
