Используйте модели
Часто бывает удобно представить абстрактную задачу в конкретной форме. Я уверена, что вы видели когда-нибудь макеты планируемых архитектурных построек — таких, как торговый центр, офисы, студенческий городок. Макеты небольших строений и тротуаров не делаются — архитекторы любят грандиозные постройки. Часто такие макеты строятся для согласования планов будущего строительства с другими специалистами, которые не умеют читать чертежи, и в этом случае небольшие модели помогают решить задачу. Составленный из заменяемых деталей макет позволяет архитектору варьировать конструкцию и искать наилучший вариант расположения частей.
Давайте возьмем задачу, найти решение которой поможет создание модели. На мифической планете отдаленной галактики обитают два вида разумных существ — хоббиты и орки. Однажды три хоббита, увлекшись исследованием страны орков, потерялись. Хоббиты могли бы спокойно вернуться домой, если бы сумели перебраться через реку, отделяющую их страну от страны орков. Три орка согласились помочь хоббитам переправиться через реку, но единственная имеющаяся у них лодка могла выдержать только двоих — чего хоббиты никак не могли допустить, так как, обладая численным превосходством, орки могли в любой момент съесть их.
Ваша задача состоит в том, чтобы установить последовательность переправ, которая позволит трем хоббитам перебраться на другой берег реки, а трем оркам — вернуться на свой родной берег. Ограничением в этой задаче является то, что в лодке одновременно могут находиться только двое. К тому же если в какой-то момент времени число орков на берегу будет превышать число хоббитов, то вы должны будете отказаться от этого варианта и начать сначала.
Без наглядной формы представления этой задачи она кажется неразрешимой. Воспользуйтесь любыми маленькими предметами, которые будут заменять вам орков и хоббитов, и перемещайте их через воображаемую реку. Подойдут, например, три больших кусочка бумаги в качестве хоббитов, а три маленьких — в качестве орков. Вам надо будет представить, что вы перемещаете инопланетян в лодке. Не забывайте записывать все ваши ходы. Постарайтесь найти решение этой задачи в течение 10–15 минут. Занимаясь поиском решения, продумывайте каждый шаг. Не-продолжайте чтения, пока не решите эту задачу.
Последовательность всех необходимых действий для переправы хоббитов приведена на рис. 9.10. Одна из наибольших сложностей этой задачи заключается в необходимости переправить всех трех орков через реку — действия, которые сами по себе нежелательны, но которых нельзя избежать, чтобы не допустить численного превосходства орков над хоббитами. Задачи такого типа называют задачами с обходным маневром, поскольку пути их решения не прямолинейны. Нужны промежуточные шаги, которые, на первый взгляд, даже уводят от цели — в данном случае это переправа всех трех орков на противоположный берег реки, в то время как конечной целью, поставленной в задаче, является нахождение орков на их родном берегу. Очень важно осознать, что путь к намеченной цели может оказаться обходным. В качестве более приближенного к жизни примера рассмотрим стремление Леона стать очень обеспеченным человеком. Один из путей достижения этой цели — влезть в долги, чтобы оплатить образование. Хотя одалживание крупной суммы денег, на первый взгляд, уводит от намеченной цели разбогатеть, оно может оказаться необходимым обходным маневром для ее достижения. Когда вы столкнетесь со сложной задачей, будьте готовы рассмотреть и обходные пути ее решения.
Рис. 9.10. Последовательность переправы трех хоббитов через реку на лодке, которая одновременно может выдержать только двоих. При этом количество орков никогда не превышает количество хоббитов.
Выберите лучшее представление
Использовать наглядные формы представления задачи (например, с помощью карандаша и бумаги) полезно в любом случае, когда у вас есть данные, которыми нужно оперировать. Ваша кратковременная память может быстро переполниться. Если вы уже прочитали главу 8, то должны осознавать, насколько важно снижение нагрузки на кратковременную память. Один из способов сделать это — выписывать возможные варианты путей решения и затем поочередно рассматривать их. Практически все данные, выраженные в числах — включая полученные в ходе эксперимента результаты, — следует всегда изображать графически. Если задача математическая или пространственная, то, вероятно, будет полезно применение диаграмм. Диаграмма сможет помочь распутать ситуацию, когда исходные данные взаимозависимы. Кроме того, диаграммы могут выделить некоторые важные отношения, которые нередко приводят непосредственно к цели. Иерархические деревья являются естественной формой представления задач, когда материал сам по себе образует иерархическую структуру. Матрицы чаще всего удобны, когда исходные данные могут быть разбиты на категории для последующего анализа. Модели хороши при представлении задач, решение которых определяет перемещение или передвижение данных. Часто именно выбор наглядного представления задачи является главным моментом, и от него зависит возможность решения задачи (Posner, 1973). Если вы обнаружите, что один из видов наглядного представления не помогает, попробуйте другой.
Решение задач может быть отнесено к наиболее характерной деятельности человека.
Полья (Роlуа, 1962)
Глупо советовать человеку, столкнувшемуся с задачей, спланировать ее решение, если он понятия не имеет, как это делается. Казалось бы, что тут сложного? Нужно только разрабатывать одно за другим возможные решения и затем проверять их. А что если вы не можете придумать ни одного решения? Существует несколько стратегий, которые при правильном использовании могут помочь вам генерировать решения. Несмотря на то что ни одна отдельно взятая стратегия не может гарантировать вам универсальных решений на все случаи жизни, умение применять эти стратегии придаст направленность и уверенность вашим действиям при решении новых задач.
Шонфелд (Shoenfeld, 1979) заметил, что многие математики и ученые при решении стоящих перед ними задач прибегают к определенным стратегиям и правилам. Многие из них уверены, что если бы студенты приобрели некоторые базовые навыки, они бы решали задачи с большим успехом. Кроме того, исследователи обнаружили, что обучение, направленное на приобретение соответствующих навыков, может повысить способность человека решать возникающие задачи (напр., Klein, Weizenfeld 1978; Wickelgren, 1974). Приведенные ниже стратегии или руководства по решению задач можно рассматривать как способы планирования решения.
Анализ целей и средств
Чаще всего продвижение к цели не происходит по прямой вымощенной дороге. Если цель не может быть достигнута сразу, нередко приходится идти обходными путями или разбивать задачу на более мелкие части — так называемые подзадачи, каждая из которых имеет свою цель, или подцель.
Как и большинство стратегий решения задач, выбор и использование подцелей требует планирования. Процедура, согласно которой люди определяют подцели и используют их достижение для продвижения к основной цели, называется анализом целей и средств. Он является одним из основных, очень мощных средств решения задач. Сначала задача делится на подцели. Затем человек начинает действовать, чтобы достигнуть определенной подцели. Таким образом, с каждой отдельной победой он будет все ближе и ближе подходить к главной цели. Чтобы эта идея стала более понятной, давайте обратимся к примерам.
Первым шагом в анализе целей и средств является перечисление целей, которые можно поставить в данной задаче, и выбор наиболее перспективной из них. Предположим, что во время игры в шахматы вы поставили перед собой удачную подцель — поставить шах королю противника. Целью, естественно, является победа в игре, но для того, чтобы ее достичь, необходимо постоянно двигаться в направлении подцелей. Шах королю противника — это та ближайшая цель, в направлении которой вы продвигаетесь. Теперь вам необходимо выбрать средства для достижения данной цели — отсюда и термин анализ целей и средств. Чтобы достичь поставленной подцели, определите, какова текущая позиция ваших фигур. Затем определите разницу между той позицией, которую они занимают, и той, которой вы бы хотели достичь. Вам следует выбирать ходы, которые будут уменьшать эту разницу и позволят поставить шах королю противника. Предположим, этого нельзя добиться за один ход, тогда анализ целей и средств следует применить снова, на этот раз выбрав менее крупную подцель — возможно, это будет просто отдельный ход, направленный против какой-либо фигуры противника. Постоянное повторение этих двух процессов — выбора подцелей и сокращения расстояния до них — позволит вам продвигаться в направлении главной цели.
