18
«Исследования Георга Кантора о многообразиях», Vierteljahresschrift f. Wiss. Philos., 9, 191–232 (1885)
«Научное понятие бесконечного: Зенон Элейский и Георг Кантор», Revue philos. De la France et l’Étranger, 20, 385–410 (1885)
Ср. письма Кантора У. Г. Юнгу от 1908 г. (см. Proc. Lond. Math. Soc. (2), 24, стр. 422 и далее, 1926) и Джордену от 1905 г. (см. Г. Кантор, Работы по основаниям теории трансфинитных чисел. Перевод введение и примечание Филиппа Э. В. Джордена, Чикаго и Лондон, 1915, стр. 48.
Jaresbericht d. D. Mathematikerveereinigung, 1, 3–7 (1892) и 3б 8 (1894)
Ни это приглашение, ни тон упоминаемого ниже ответного письма Кронеккера не должны ввести нас в заблуждение по поводу характера отношений между учеными, оставшегося прежним; ср. письмо Кантора Миттаг-Лефлеру от 5 сентября 1891 г.
В письме Юнгу от 9 марта 1907 г. Кантор резко нападает на известные статьи Бурали-Форти в Rendiconti Palermo, заявляя, что тот даже не усвоил понятия вполне упорядоченного множества (см. Mathem. Gazette, №14, 101, 1929)
Вскоре затем Кантор уточняет употребление слова «разнообразие» в этой связи, разъясняя, что он имеет в виду «разнообразия не связанных вещей, т. е. такие разнообразия, что удаление из них произвольного элемента или многих элементов никак не влияет на существование остальных». (Отметим, как близко Кантор подошел здесь к запрещению так называемых непредикативных определений, тем самым неосознанно подвергая критике также понятие степени множества, основное для его построения теории множеств)
Доказательство Шредера (содержавшее пробел) было доложено осенью 1896 г. на Франкфуртском собрании естествоиспытателей; доказательство Бернштейна, найденное им зимой 1896/97 г., было доложено в 1897 г. на семинаре Кантора. Доказательство Дедекинда (не опубликованное) по существу совпадает с более поздним доказательством Цермело (Math. Ann., 65, 271, 1908)
Jahresber. d. D. Mathematikervereinigung, 101 и далее, 1922
Ср. речь Гильберта, посвященную памяти Минковского (Göttinger Nachrichten, 1909; Собрание сочинений Минковского, т.1), где цитируется также меткое замечание из доклада Минковского об актуально-бесконечном в природе. В обоих докладах упоминается оппозиция Кронеккера по отношению к идеям Кантора
Ср. также его статьи в Revue philosophique за 1899 и 1900 годы, перепечатанные во 2-ом (и 3-ем) издании названной книги, в 1914 (1928) г. Если в учебнике Бореля имя Кантора лишь бегло упоминается, а результаты его доказываются совсем другим путём, то во введении к этим статьям Борель отвергает всякое подозрение в возможной недооценке Кантора, могущее возникнуть по этому поводу
Все же нас удивляет теперь, что в Jahrbuch fur die Fortschritte der Mathematik, уже с 1892 г. нашедшем в лице Виванти сведущего референта по теории множеств, до 1904 года теоретико-множественные работы (за исключением отнесенных к геометрии) обсуждались в разделе «Философия», а затем переместились в подраздел между философией и педагогикой (и лишь под редакцией Лихтенштейна эта дисциплина обрела самостоятельное положение)
Jahresbbericht der Deutschen Maths.-Verein, 31, стр. 100 и далее (1922)
Уже в 1896 г. он избирается членом правления Секции математики и астрономии Леопольдо-Каролинской Немецкой академии естествоиспытателей в Галле, членом которой он был с 1889 г.
Ср. отчет Лорея в Ztschr. f. Math. u. Naturw. 46, 269−274 (1915)
Докторанты по математике (немногочисленные в то время) большею частью приезжали в Галле на короткое время с уже готовыми диссертациями, главным образом из Берлина
Ср. также в “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”: «Вероятно, я первый по времени защищая эту точку зрения [Принятие актуально-бесконечного in concreto (в конкретном) и in abstracto (в абстракции)] с полной определенностью и со всеми ее следствиями; но я наверное знаю, что не буду последним ее защитником!»
Ср. также подстрочное примечание Миттаг-Лефлера в начале работы Кантора [I5], а также оценку заслуги Бендиксона в части 6 работы [13]
Особенно характерна в этом смысле рецензия Кантора на книгу Германа Когена “Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte” («Принцип метода бесконечно малых и его история») в Deutche Literaturzeitung, 5, ст. 266–268 (1884)
«Лекции о развитии математики в XIX веке», ч. 1, Берлин, 1926. Приведем оттуда следующее место: «Если освободить схоластические рассуждения от этой мистико-метафизически окрашенной оболочки, в которой они представляются поверхностному взгляду чисто теологическими тонкостями, то они часто оказываются вполне правильными подходами к тому, что мы теперь называем теорией множеств». Что касается Больцано, то схоластика очевидным образом была отправным пунктом его исследований о бесконечности
Возникает вопрос, сознательно или несознательно примыкает здесь Кантор к Г. Ганкелю, уже в 1867 г. в своей “Theorie der komplexen Zalensysteme” («Теории комплексных числовых систем»), указавшему в качестве предмета математики «интеллектуальные объекты», которым действительные объекты или их отношения могут но не обязаны соответствовать»
Ср. следующее место в работе “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”: «Если бы первое (множество) не противостояло нам как объект, то чтó могло бы последнее (соответствующее кардинальное число) отражать в качестве абстрактного образа в нашем разуме?»
Ср. мою книгу и Einleitung in die Mengenlehre («Введение в теорию множеств») (3-е изд., Берлин, 1928), стр. 325-322
Впрочем, слово «метафизика» часто применяется у Кантора (как и у Гaycca) не в принятом ныне смысле, а вслед за французским словоупотреблением приблизительно в смысле «философской критики» (некоторой науки); ср. заключение работы
Ср. также восходящие к «Сообщениям» Кантора ссылки в Ztschr. F. Philos. u. philos. Kritik, N. F., 88, стр. 192 и далее (1886); там же, стр. 229. С этими физическими взглядами следует сравнить, наряду с Коши, на которого Кантор ссылается в “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede” и в “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten”, также объяснение природы в книге Р. Грассмана “Die Lebenslehre oder Biologie” [«Учение о жизни или биология»]. (Штеттин, 1882/83)
Приложения теории точечных множеств к математической физике, намеченные в этом месте и, видимо, очень близкие сердцу Кантона, на нынешней стадии развития физики представляются бесперспективными; однако, физические приложения иного рода действительно имеются. В [13], ч. 5, Кантор особенно подчеркивает свою враждебность обычной атомистике
В новейшей литературе по поводу этих отношений между теологией и актуальной бесконечностью см., напр., сочинение А. Демпфа “Das Unendliche in der mittelalterlichen Metaphisik und in der Kantischen Dialektik” «Бесконечное в средневековой метафизике и в диалектике Канта (Мюнстер, 1926) и статью И. Тернуса (Общ-во Иисуса) «К философии математики», (Philos. Jahrb. Der Görresgeselschaft, 39, 217-231, 1926)
Как сообщает Тернус (loc.cit., 221), в библиотеке нижненемецкой провинции иезуитов сохранилось еще много сочинений за 80-е года с надписью Hommages respectueux de l’auteur George Cantor” («С почтением от автора Георга Кантора»)
Ср. “Philosophisches Jahrbuch der Görres – Gesellschaft”, 32, 366 (1919) и 41, 262 (1928)
«О проблеме бесконечного», Ztschr. F. Philos. u. philos. Kritik, N. F., 88, 179-223 (1886), ч.1. Ср. также Кантор, ibid., стр. 232 и подстрочное примечание к работе «Учение о трансфинитном» , согласно которому Гутберле включил в свою статью места из рукописи Кантора (по его желанию); см. далее, возражения Кантора в той же работе
