Проще всего мерить пространство в одном измерении. Все, что необходимо для измерения, например, прямой линии, — это линейка. Для двухмерного пространства, такого как пол большого танцевального зала, мы обычно берем две перпендикулярные линейки — одна из которых сопоставляется оси x, а вторая — оси y — и находим расстояние между двумя точками путем построения прямоугольного треугольника и применения теоремы Пифагора. В свою очередь, в трех измерениях нам необходимы три перпендикулярные линейки, соответствующие осям x, y и z.
В искривленных, неевклидовых пространствах все становится сложнее и интереснее, поскольку точно откалиброванные перпендикулярные линейки для измерения искривленного пространства уже не пригодны. Однако в этом случае для расчета расстояний мы можем использовать риманову геометрию. Подход, который мы применяем для расчета длины кривой, лежащей на искривленном многообразии, вам уже знаком: кривую представляют в виде ломаной, состоящей из касательных бесконечно малой длины, и затем берут интеграл вдоль всей линии, чтобы получить полную длину.
Сложность этого подхода обусловлена тем, что в искривленном пространстве длина каждого отрезка ломаной может изменяться при перемещении от одной точки многообразия к другой. Для того чтобы преодолеть эту трудность, Риман создал инструмент, известный как метрический тензор, дающий алгоритм для расчета длины отрезка касательной в каждой точке. В двух измерениях метрический тензор представляет собой матрицу 2×2, в n измерениях — матрицу n×n. Следует отметить, что этот новый подход к измерению, несмотря на всю важность нововведений Римана, по-прежнему основан на теореме Пифагора, только переформулированной для неевклидового пространства.
Пространство, наделенное римановой метрикой, носит название риманова многообразия. Вооружившись метрикой, мы можем измерить длину любой кривой, принадлежащей многообразию произвольной размерности. Впрочем, мы не ограничены возможностью измерения длин кривых — таким же способом мы можем измерять и площади поверхностей в подобных пространствах, причем понятие «поверхность» в этом случае не ограничено привычными нам двумя измерениями.
Изобретя понятие метрики, Риман показал, что пространству, имевшему до этого весьма неясное определение, можно строго приписать определенную геометрию, кривизну же лучше представлять не в виде расплывчатого понятия, а в виде точных чисел, соответствующих различным точкам пространства. И этот подход, как показал Риман, применим к пространствам любой размерности.
До Римана искривленный объект мог быть изучен только «снаружи», подобно тому, как издалека проводят геодезическую съемку горного хребта или смотрят на Землю с борта космического корабля. Вблизи же все кажется плоским. Риман указал способ установить, что мы живем в искривленном пространстве, даже не имея под рукой ничего, с чем его можно сравнить.[19] Это открытие поставило перед физиками и астрономами важнейший вопрос: если Риман прав и пространство, в котором мы живем, действительно искривлено, не означает ли это необходимости нового пересмотра наших представлений практически обо всем? Но значит ли это, что в больших масштабах Вселенная не ограничена рамками евклидовой геометрии, а пространство способно сдвигаться, искривляться и вообще — делать что угодно? Именно по этой причине астрономы и космологи проводят в настоящее время тщательные измерения в надежде установить, искривлено наше пространство или нет. Благодаря Риману теперь известно, что для проведения этих измерений совсем не нужно покидать нашу Вселенную (что было бы весьма затруднительно сделать). Напротив, узнать, искривлена ли наша Вселенная, можно, буквально не сходя с того места, на котором сидим, — что весьма комфортно как для космологов, так и для обывателей.
Такими были некоторые из новых витающих в воздухе идей в области геометрии в то время, когда Эйнштейн приступил к упорядочению своих размышлений относительно гравитации. В начале XX столетия Эйнштейн на протяжении почти десяти лет пытался объединить специальную теорию относительности с законами гравитации Ньютона. Он подозревал, что ответ может лежать где-то в области геометрии, и обратился за помощью к своему другу, геометру Марселю Гроссману. Гроссман, ранее помогавший Эйнштейну закончить университетскую курсовую работу, которую сам Эйнштейн находил скучной, познакомил своего друга с римановой геометрией, которая была неизвестна физике того времени, — хотя и сделал это с предостережением, назвав риманову геометрию «ужасной смесью, с которой физикам лучше не связываться».[20]
Риманова геометрия стала ключом к решению головоломки, над которой Эйнштейн бился много лет. Как уже говорилось в предыдущей главе, Эйнштейн отстаивал идею искривленного четырехмерного пространства-времени (иначе известного как наша Вселенная), не являющегося частью большего пространства. К счастью для него, Риман уже создал каркас теории, определив пространство нужным образом. По словам Брайана Грина: «Гениальность Эйнштейна состояла в способности распознать, что этот математический аппарат идеально подходит для реализации его идей относительно гравитации. Он четко показал, что математические понятия римановой геометрии прекрасно подходят для физического описания гравитации».[21]
Эйнштейн не только догадался, что пространственно-временной континуум можно описать при помощи римановой геометрии, но показал, что геометрия пространства-времени неразрывно связана с его физическими характеристиками. Тогда как специальная теория относительности уже объединила пространство и время путем введения понятия единого пространства-времени, последовавшая за ней общая теория относительности объединила пространство и время с материей и гравитацией. Это стало настоящим прорывом в научных представлениях. Ньютоновская физика рассматривала пространство как пассивную сцену, а не как активного участника происходящих на ней событий. Прорыв был тем более впечатляющим, что в то время еще не существовало никаких экспериментальных предпосылок для этой теории. Эта теория в буквальном смысле слова возникла в голове одного человека (что, конечно, не означает, что она могла возникнуть в любой голове).
Физик Ч. Янг назвал формулировку Эйнштейном общей теории относительности актом «чистого творения», который был «уникальным в человеческой истории… Эйнштейн не пытался воспользоваться благоприятным случаем, который ему подвернулся. Он сам создал этот случай. И он сумел реализовать свою идею, благодаря глубокой проницательности и грандиозности замысла».[22]
Общая теория относительности стала поразительным достижением, которое удивило, возможно, даже самого Эйнштейна, не подозревавшего, что основы физики и математики могут быть столь тесно переплетены друг с другом. Много лет спустя он сделает вывод, что «в основе принципов творения лежит математика. Поэтому я считаю в определенном смысле истинным, что чистая мысль может ухватить реальность, как мечтали древние».[23] Теория гравитации Эйнштейна была создана при помощи именно такого процесса чистого мышления — исключительно из математических предпосылок, без каких-либо подсказок из внешнего мира.
Используя метрический тензор Римана, Эйнштейн получил форму и другие характеристики (иными словами, геометрию) по-новому осознанного им пространственно-временного континуума. Синтез геометрии и физики, завершившийся созданием знаменитых эйнштейновских уравнений поля, продемонстрировал, что гравитацию — силу, формирующую наш мир в космических масштабах, — можно рассматривать как иллюзию, вызываемую искривлением пространства-времени. В новой теории Эйнштейна метрический тензор римановой геометрии описывает не только кривизну пространственно-временного континуума, но и гравитационное поле. Массивное тело, подобное Солнцу, деформирует ткань пространства-времени точно так же, как под толстяком прогибается сетка батута. И подобно тому, как маленький шарик, брошенный на батут, будет двигаться по спирали вокруг тяжелого человека и, в конце концов, скатится ему под ноги, геометрия деформированного пространства-времени заставляет Землю двигаться по орбите вокруг Солнца. Иными словами, гравитация — это геометрия. Физик Джон Уилер однажды пояснил нарисованную Эйнштейном картину гравитации следующим образом: «Материя говорит пространству, как ему искривляться; пространство говорит материи, как ей двигаться».[24]
Вот еще один пример, помогающий понять эту точку зрения: представим себе, что два человека начинают движение с одной и той же скоростью из разных точек на экваторе и движутся в направлении Северного полюса вдоль меридианов. С течением времени они становятся все ближе друг к другу. Возможно, они полагают, что находятся под действием некой невидимой силы, постепенно сближающей их. Но с другой стороны, предполагаемая сила — на самом деле всего лишь иллюзия, вызванная геометрией Земли, и в действительности никакой силы не существует; вот в двух словах суть идеи о тождественности гравитации и геометрии.
