постулаты несколько глубже, обратимся к очевидной аналогии между предполагаемым вращением электрона вокруг ядра и вращением спутника вокруг Земли. В свое время Ньютон открыл закон всемирного тяготения, размышляя над вопросом: «Почему Луна не падает на Землю?» Сейчас этот вопрос задают только в старых анекдотах, ибо все знают ответ: «Потому, что она движется, причем со строго определенной скоростью, которая зависит от расстояния ее до Земли». Таким образом, чтобы спутник не упал на Землю и в то же время не улетел в космос, между радиусом его орбиты
r и скоростью
υ движения по ней должна существовать определенная связь.
В атоме водорода при движении электрона массой m и зарядом е вокруг ядра атома между скоростью электрона υ на орбите и радиусом орбиты r существует аналогичная связь, которую можно записать в виде уравнения
Это уравнение верно всегда — независимо от того, излучает электрон или не излучает. Оно просто отражает известное равенство центробежной и притягивающей сил. Если по законам электродинамики электрон теряет энергию на излучение, то он упадет на ядро, как спутник при торможении в атмосфере. Но если существуют особые — стационарные — орбиты, на которых он не подчиняется законам электродинамики и потому не излучает, то должны существовать также дополнительные условия, которые выделяют эти орбиты из набора всех возможных. Как появляются эти условия, легче всего показать, продолжив нашу аналогию со спутником.
У кругового движения, кроме радиуса орбиты r и скорости υ движения по ней, есть еще одна характеристика — момент количества движения l, или, коротко, орбитальный момент. Он равен произведению массы m на скорость υ и на радиус орбиты r, то есть l=mυr, и для спутника может принимать произвольные значения — в зависимости от r и υ. Бор утверждал: электрон в атоме отличается от спутника тем, что его орбитальный момент l не может быть произвольным — он равен целому кратному от величины ℏ = h/2π (это обозначение
предложил один из создателей квантовой механики Поль Дирак), то есть
mυr=nℏ,
где n — целое число: n = 1, 2, 3, ... Это и есть то дополнительное условие Бора, которое выделяет стационарные орбиты (единственно допустимые в атоме) из бесконечного числа всех мыслимых. А поскольку при таком выделении основную роль играет квант действия h, то и весь подход назвали квантованием.
Из этих двух условий, используя только правила алгебры, можно через массу электрона m, его заряд е и постоянную Планка h выразить радиус орбиты электрона r, его скорость υ и полную энергию на орбите
равную сумме кинетической энергии электрона и потенциальной энергии кулоновского притяжения электрона к ядру. Эти значения зависят от номера орбиты n следующим образом:
Таким образом, стационарные орбиты (а следовательно, и уровни энергии) нумеруются целыми числами n, которые пробегают бесконечный ряд значений: n=1, 2, 3, ...
Очень важно и чрезвычайно существенно то, что никакие другие, промежуточные значения энергии, кроме набора энергий Еn, пронумерованных целым числом n, в атоме невозможны. Это отсутствие непрерывности практически всех характеристик движения электрона в атоме — его энергии, скорости, орбитального момента — наиболее характерная черта квантовой теории, которая почему-то наиболее трудно воспринимается.
При переходе с уровня k на уровень n электрон излучает энергию ΔE = Ek—En, а частота излучения, которое при этом возникает, определяется по формуле Эйнштейна:
Отсюда сразу же следует знаменитая формула Бора для частоты излучения атома водорода:
Если мы наблюдаем излучение, которое возникает при переходах электрона со всевозможных уровней k на какой-то определенный уровень n, то увидим не просто набор спектральных линий, а серию. Например, при переходах с уровней k = 3, 4, 5, ... на уровень n = 2 воспроизводится серия Бальмера.
Формула, полученная Бором, очень напоминает формулу Ридберга для атома водорода, которую тот нашел эмпирически задолго до Бора и о которой мы подробно рассказали в предыдущей главе:
Сравнивая эти две формулы, можно найти значение R для атома водорода с бесконечной массой ядра:
И действительно, ее значение совпало с тем, которое было давно известно из спектроскопических измерений.
Это был первый успех теории Бора, и он произвел впечатление чуда. Но это еще не все. Из теории Бора следовало, что у атома водорода в основном, невозбужденном состоянии (n = 1) радиус
Это означает, что размеры атомов (10-8 см), вычисленные по его формуле, совпадали с предсказаниями кинетической теории материи.
И, наконец, теория Бора объяснила, как свойства линейчатого спектра связаны с внутренним строением атома. Интуитивно эту связь чувствовали всегда. Но только Бору впервые удалось выразить ее количественно. Оказалось, что эту связь осуществляет постоянная Планка h.
Это было неожиданно. Действительно, квант действия возник в теории теплового излучения и никаким очевидным образом не был связан ни с атомами, ни с лучами, которые эти атомы испускают. И тем не менее именно он позволил вычислить абсолютные размеры атома и предсказать частоту света, излучаемого им. Угадать эту связь Бору, как и многим до него, помогла глубокая вера в единство природы.
Постулаты Бора (как и всякие постулаты) нельзя обосновывать логически или вывести из более простых. Они остаются произвольными творениями человеческого разума до тех пор, пока опыт не подтвердит следствий, которые из них вытекают. Тогда на их основе развиваются теории, наиболее удачные из которых называют законами природы.
Мы ограничимся только упомянутыми тремя следствиями теории Бора — на самом деле их значительно больше, и все они демонстрируют несомненную силу непонятных постулатов. Конечно, Бор пришел к ним несколько иначе, чем мы сейчас: когда человек впервые поднимается на незнакомую вершину, трудно надеяться, что он придет на нее самым простым путем. Только поднявшись на вершину, он сможет увидеть кратчайшую тропу к ней.
Несмотря на необычность постулатов Бора, его теория нашла довольно быстрое признание и достаточно много талантливых и сильных последователей. Если бы потребовалось определить отношение к ней физиков в те годы, то, пожалуй, следовало бы назвать чувство облегчения, чувство освобождения от того постоянного напряжения, в котором все они до тех пор находились, пытаясь удержать в памяти
