Несмотря на то что помехи при трансляции сигнала имели случайную природу, шумы генерировались в виде кластеров. Промежутки «чистой» передачи сменялись периодами помех. Поговорив с инженерами, Мандельбро выяснил, что специалисты уже слагают о шумах легенды. Устранить помехи стандартными методами они не смогли, — чем ближе располагались пучки шума, тем более сложными виделись скопления погрешностей. Мандельбро удалось описать распределение ошибок так, чтобы точно предсказать наблюдаемые эффекты. Но все же этот феномен был в высшей степени странным! В силу определенных причин подсчитать средний уровень шумов — их среднее количество в час, минуту или секунду — представлялось невозможным.
Однако модель Мандельбро работала, достаточно четко разделяя периоды передачи и периоды помех. Что это означает? Допустим, мы разбили сутки на часовые интервалы. Первый час проходит вообще без сбоев, появляющихся в следующий час, а затем исчезающих на такой же период времени.
При разбиении часового промежутка с помехами на более мелкие временные интервалы, например двадцатиминутные, оказывается, что некоторые из них абсолютно чистые, в то время как в других внезапно обнаруживаются шумы. Фактически, утверждал Мандельбро — и это совершенно противоречило интуиции! — не найти временного промежутка, в течение которого распределение погрешностей станет непрерывным. Внутри каждого пучка шумов, независимо от его продолжительности во времени, всегда будут наблюдаться моменты абсолютно чистой передачи. Более того, Мандельбро обнаружил устойчивое отношение между периодами ошибок и промежутками чистой передачи. В масштабах часа или даже секунды соотношение этих двух периодов оставалось постоянным. (Однажды ученого напугали сообщением, что схема его будто бы не срабатывает. Однако выяснилось, что инженеры просто не зафиксировали кое-какие детали, решив, что они не относятся к делу.)
Эти инженеры не обладали достаточными знаниями, чтобы оценить глубину мыслей Мандельбро, чего нельзя сказать о математиках. В сущности, он продублировал абстрактную конструкцию, названную последовательностью Кантора — по имени великого математика XIX века. Для ее построения необходимо начать с интервала от нуля до единицы, представленного в виде отрезка линии, а затем удалить одну его треть из середины. Останутся два крайних отрезка, которые нужно подвергнуть той же процедуре. Повторяя эту операцию до бесконечности, мы получим странную «пыль» точек, собранных в кластеры. Их бесконечно много, и они непрерывны. Мандельбро рассматривал погрешности в передаче информации как последовательность Кантора во времени.
Такое в высшей степени абстрактное описание много значило для ученых, пытавшихся выработать эффективную стратегию борьбы с ошибками при передаче информации. Сделанные Мандельбро выводы подсказали, что увеличивать силу сигнала в целях устранения большего количества шумов бесполезно. Разумнее остановить выбор на сравнительно слаботочной связи, смириться с неизбежностью погрешностей и использовать стратегию дублирования сигналов для исправления ошибки. Благодаря Мандельбро инженеры корпорации изменили свои взгляды на причину шумов: раньше внезапное появление помех списывали на то, что где-то техник орудует отверткой, но построенная ученым модель доказала, что нельзя объяснять природу помех специфичными локальными явлениями.
Рис. 4.2. Множество Кантора. Начинаем с одного отрезка, у которого удаляем среднюю треть. Затем удаляем средние трети оставшихся сегментов и т. д. Последовательностью Кантора именуется «пыль» из точек, остающихся после подобных операций. Точек бесконечно много, но конечная длина каждого получившегося отрезка равна нулю. Математиков XIX века смущали парадоксы подобных конструкций. Мандельбро использовал последовательность Кантора в качестве модели возникновения помех во время передачи электрических сигналов. Свободные от шумов периоды передачи данных чередовались с промежутками, в которых внезапно возникали помехи. При ближайшем рассмотрении оказывалось, что «вспышки» ошибочной информации содержали внутри себя совершенно «чистые» промежутки. Этот феномен представлял собой пример фрактального времени. Мандельбро обнаружил, что в каждом временном масштабе, начиная от часа и заканчивая секундами, соотношение погрешностей и «чистых» сигналов постоянно. Подобные множества точек, заключил он, необходимы при моделировании прерывистости.
Затем воображение Мандельбро захватила информация, почерпнутая из гидрографии, точнее — из истории Нила. Египтяне тысячелетиями наблюдали и фиксировали уровень вод и делали это совсем не из праздного любопытства, а для оценки будущего урожая и определения будущих налогов. Уровень вод великой реки варьировался чрезвычайно резко: в иные годы он поднимался довольно высоко, в другие могучий поток мелел. Мандельбро классифицировал данные о таких изменениях. Он выделил два типа эффектов, наблюдаемых также и в экономике, и назвал их эффектами Ноя и Иосифа.
Эффект Ноя, или скачок, обозначает отсутствие последовательности, иначе говоря, разрыв: количественная величина может изменяться сколь угодно быстро. Экономисты полагали, что цены меняются довольно плавно в том смысле, что проходят — быстро или медленно — через все уровни, лежащие на пути от одной точки к другой. Этот образ движения, заимствованный из физики, был ложным: цены могут совершать мгновенные скачки, сменяющие друг друга с той же быстротой, с какой мелькают новости на ленте телетайпа и брокеры просчитывают в уме выгоды от возможной сделки. Мандельбро утверждал, что стратегия фондовой биржи обречена на провал, если определенные акции надо продать за 50 долларов, пока цена бумаг снижается с 60 до 10 долларов.
Эффект Иосифа символизирует непрерывность. Наступят семь плодородных лет на земле египетской, и придут после них семь лет голода. Периодичность, если именно о ней идет речь в библейской легенде, понимается чересчур упрощенно, однако периоды наводнений и периоды засухи действительно настают вновь и вновь, чередуясь друг с другом. Хотя подобное кажется случайностью, но чем дольше та или иная определенная местность страдает от засухи, тем больше вероятность, что засушливые периоды повторятся. Более того, математический анализ колебаний уровня Нила выявил, что подобное постоянство наблюдалось как десятилетиями, так и веками.
Два явления — скачок и непрерывность — стремятся к противоположным результатам, но сводятся к одному: тенденции в природе вполне реальны, однако способны затухать так же быстро, как и проявляться.
Отсутствие последовательности, внезапные «вспышки» помех, множества Кантора — подобным явлениям не нашлось места в геометрии двух прошедших тысячелетий. Формами классической геометрии считаются прямые и плоскости, окружности и сферы, треугольники и конусы. Они воплощают могущественную абстракцию действительности, они вызвали к жизни непревзойденную философию гармонии Платона. Евклид построил на их основе геометрию, известную уже две тысячи лет, и по сей день большинство людей знакомы только с ней. Художники распознавали в таких формах идеалы красоты, астрономы составили из них Птолемееву картину мира, но для постижения истинной сложности наука нуждается в ином типе абстракции, нежели тот, что присущ классической геометрии.
Как любил повторять Мандельбро, облака далеки по форме своей от сфер, горы совсем не конусы, а молния отнюдь не придерживается в своем движении прямой линии. Новая геометрия подобна зеркалу, отражающему вовсе не плавные и мягкие очертания привычной Вселенной, а неровный и шершавый контур иного мира. Зарождающуюся науку можно назвать геометрией ям и впадин, фрагментов разбитого единства, изгибов, узлов, переплетений. Пониманию сложной природы живого мира недоставало одного лишь предположения о далеко не случайном характере сложности. Истинное проникновение в глубины хаоса требовало безоговорочной веры в то, что интереснейшей чертой, например, разряда молнии является не ее направление, а скорее расположение ее зигзагов. Исследования Мандельбро претендовали на новое видение действительности, указывая на то, что различные странные формы имеют особое значение. Впадины и сплетения стоят много больше, нежели классические формы Евклидовой геометрии, зачастую являясь ключом к постижению самой сущности явлений.
Что можно считать главным, скажем, в линии побережья? Мандельбро задал такой вопрос в статье «Какова длина береговой линии Великобритании?», ставшей поворотным пунктом в мышлении ученого.
С феноменом береговой линии он столкнулся, изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ф. Ричардсона, вышедшую после смерти автора. Последнему удалось отыскать множество поразительных вещей, ставших впоследствии элементами хаоса. Ричардсон еще в 1920-х годах размышлял о предсказании погоды. Он изучал турбулентность в жидкостях, бросая мешок с белыми цветами в воды канала Кейп-Код, и задавался вопросом «Имеет ли ветер скорость?» в одноименной статье 1926 г. («Спрашивать о таком, на первый взгляд, глупо, но осведомленность расширяет кругозор», — писал ученый позже.) Зачарованный извивами береговых линий и государственных границ, Ричардсон проштудировал энциклопедии Испании и Португалии, Бельгии и Нидерландов и обнаружил 20-процентное отклонение истинной протяженности их общих рубежей от длины, указываемой справочными изданиями.
