И вот точная формулировка доказательства составляла, так сказать, следующий уровень точности для аксиоматического метода. И вторая вещь – это язык. Дело в том, что обыденный язык, он не просто двусмыслен, он многосмыслен. Я обычно на лекциях привожу в пример слово «радикал». Есть радикальные партии, есть свободные радикалы в химии и есть, как говорится, радикалы – корень квадратный, который в школе учат. Но если говорить о контекстах, то там многозначность языка становится бесконечной. Но без этого поэзия была бы невозможна, если бы язык, на котором мы разговаривали, имел только один смысл. Но для математики, для науки, стремящейся к точности, это достоинство естественного языка является недостатком. Поэтому другая вещь, которая была нужна, – это создание достаточно богатых формальных языков.
Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка – различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы – это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия.
Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни. Но если посмотреть, какие люди были у истоков создания первых компьютеров, то мы там увидим Норберта Винера, Алана Тьюринга, ещё ряд людей, я потом, может быть, их назову. Эти люди были математиками, которые начинали свою профессиональную деятельность в области математической логики. Норберт Винер был студентом Бертрана Рассела, известного английского философа, но он был и одним из создателей первых формальных систем. Алан Тьюринг тоже был профессиональный логик. И я думаю, что это осознание, что формальные языки могут быть столь же богаты по выразительным возможностям, как и естественный язык, но точными, с точным и однозначным смыслом, – это позволило им предвидеть, что компьютер – это не есть просто большой арифмометр, а что он может стать, как говорится, интеллектуальным орудием. Так что опыт работы людей в математической логике привёл и к таким, я бы сказал, «сайд-эффектам», как создание компьютеров.
Ну а с точки зрения внутреннего развития, то я уже сказал, что можно считать, что математическая логика на две ступеньки подняла точность математического языка по сравнению с классическим аксиоматическим методом. Но история продолжается. И обнаружились и другие любопытные вещи. Мой учитель, академик Анатолий Иванович Мальцев сделал, на мой взгляд, два очень глубоких открытия, о которых я попытаюсь рассказать, но не в деталях, поскольку это довольно сложно.
Сначала хочу объяснить то удивление, которое, в частности, я испытал (используя некоторый образ, который может быть не совсем корректен в таких научных беседах, но по-другому я не сумею, видимо, объяснить то удивление, а может быть восхищение, которое лично я испытал). Представьте, что какая-то фирма вынуждена создать себе охрану. И вдруг оказывается, что созданная охрана является весьма мощным производителем, то есть даёт удивительный эффект для основной производственной деятельности.
Ну а теперь вернёмся к математике. Так вот, я уже объяснил, что математическая логика была создана как некоторое охранное предприятие. Охрана от противоречий. Как для нынешних фирм система охраны необходима, так и математика нуждалась в определённом охранении. Но казалось бы, ну что тут такого? Но вот оказалось, что языки, в частности один из языков математической логики, так называемое «исчисление предикатов первой ступени», обладает некоторым мощным внутренним математическим свойством. Анатолий Иванович Мальцев в 36 году доказал так называемую Теорему компактности. Не буду говорить, что это такое, но это, так сказать, мощное внутреннее свойство формального языка. А в 41 году Анатолий Иванович продемонстрировал, что только с помощью этого свойства языка можно доказать очень многие теоремы, которые уже в специализированных отделах математики доказывались – так называемые локальные теоремы, причём, разные теоремы разными способами. Они чем-то были похожи, но кроме ощущения того, что они похожи, ничего другого не было.
Оказалось, что большинство из этих локальных теорем – это есть следствие этой локальной теоремы. Что достаточно сформулировать на этом формальном языке соответствующее утверждение с некоторыми ограничениями, и тогда уже как следствие получается эта локальная теорема. Вот здесь я хотел бы сослаться на книгу Пойя – это известный американский учёный, но на самом деле он из Венгрии происходит. Пойя написал книгу, которая у нас была переведена, «Как решать задачу?», она была издана в «Учпедгизе». И там, собственно, рассказывается некоторая эвристика и даются некоторые советы, как решать задачу, как анализировать и так далее. И там, в частности, описываются разные явления, которые при этом возникают. И одно из явлений называется «парадокс изобретателя». Там особенно про изобретателя не идёт речи, но суть состоит в следующем: иногда, решая задачу, полезно взглянуть на неё, может быть, сверху и рассмотреть более общую задачу. И при таком взгляде она становится проще. Я считаю, что открытие локальной теоремы и открытие способа её применения для доказательства серьёзных теорем, которые уже были известны и очень многих новых теорем, это был парадокс изобретателя.
Оказалось, что суть большинства этих локальных теорем – это свойство того формального языка, который используется. Ну, дальше – больше. Теорема компактности привела к созданию одного из наиболее развитых разделов математической логики – так называемой «теории моделей». И здесь прослеживается, на мой взгляд, довольно любопытная эволюция, которую я попытаюсь как-то объяснить. Я для себя использую деление «современная математика» и «классическая математика», достаточно понятное различие. Можно про любую науку сказать – современная и классическая. Но на самом деле, что такое классическая математика и что такое современная? Классическая математика занималась очень ограниченным числом объектов – линия, плоскость, фигуры на плоскости, трехмерное пространство, далее непрерывные функции в трехмерном пространстве. Этим классическая математика занималась многие века.
Современная математика началась, я думаю, с открытия Эвариста Галуа, который для решения классических вопросов о нахождении корней уравнения в радикалах, о которых я уже здесь говорил, предложил ввести некоторые новые вещи. Не те классические объекты, а автоморфизм и конечные группы и так далее. Для решения классических вопросов нужно было ввести новые сущности. И вот с этого, на мой взгляд, начинается современная математика. Но и сейчас изучение классических объектов можно отнести к работам по классической математике. Но необходимо и изучение тех новых конструкций, которые нужны и для внутреннего развития математики, и для решения старых вопросов. Вот знаменитая теорема Ферма, которую несколько столетий пытались решать математики, она была, наконец, решена несколько лет тому назад. Но для её решения, а она была сформулирована в 17-м веке, понадобились совершенно современные методы. И это потребовало нескольких столетий развития математики. Так что существуют классические вопросы и классическая математика и есть современная математика, когда изучаются уже объекты более общей природы.
Так вот первые применения Локальной теоремы, которые Анатолий Иванович делал, касались современной математики. Они относились к теории групп, к теории алгебраических систем, к таким понятиям, которые характеризуют современную математику. Хрущовский применил методы математической логики для совершенно классического раздела математики – для теории чисел и алгебраической геометрии. Это такие как бы священные коровы, которым молятся. И оказалось, что даже для решения таких серьёзных, вернее, классических вопросов, методы теории моделей, математической логики, тоже применимы. А ещё один этап, тут я хочу говорить о своих собственных последних работах, связан со следующим. Тут небольшое отступление всё-таки требуется.
Развитие всякой науки, в том числе и математики, сопровождается не только постановками задач и их решениями, но и развитием понятийного аппарата, ведением понятий. Причём, ведение правильных понятий на самом деле является очень существенным, и часто введение плодотворного понятия является столь продуктивным, что вызывает взрывную реакцию и проникновение понимания в существо вещей. Так вот, мне удалось применить математическую логику и её средства для того, чтобы ввести в обиход понятия, которые важны для классических теорий. Итак, Мальцев применил математическую логику для современной математики, Хрущовский для решения вопросов классической математики, а я предложил некоторые понятия для классической математики, в том числе и для теории чисел. То есть один из наиболее таких развитых разделов для теории чисел, а теория чисел – это одна из самых первых математических теорий.
