Ознакомительная версия.
Анализ движения
Иллюстрация 19 – это ключевая диаграмма из «Начал» Ньютона, показывающая, как анализируется движение. Кеплер нашел математические законы, описывающие движение планет, но он не выводил сами эти законы из более глубоких физических принципов. На этом рисунке, используя свой специфический метод анализа – разбиение на мелкие части, Ньютон торжественно открывает внутреннее значение законов Кеплера.
Илл. 19. Ньютоновский анализ движения. Отклонения от движения по прямой линии обязаны действию силы.
Орбита разбивается на очень большое количество шагов, каждый из которых проходится за небольшой интервал времени. Поскольку это не физическое, а математическое обобщение, мы можем сделать эти шаги настолько малыми, насколько хотим. В течение достаточно малого интервала времени орбита может аппроксимироваться прямой линией, а скорость объекта, грубо говоря, постоянна. Один из ньютоновских законов движения говорит, что тело, не испытывающее воздействие каких-либо сил, будет оставаться в состоянии движения[29], т. е. продолжать двигаться в том же направлении и с той же скоростью. На рисунке мы видим пунктирные линии продолжений орбитальных сегментов, показывающие тот путь, по которому бы следовало тело, если бы сила внезапно исчезла. Настоящая орбита отличается от этих экстраполяций именно потому, что существует действующая на тело сила.
Путем детального математического рассмотрения этой проблемы мы можем определить, сила какого рода требуется, чтобы поддерживать заданную орбиту. Ньютон сделал это для орбит планет, используя открытые Кеплером зависимости (три закона, которые мы привели выше). С помощью такого анализа Ньютон пришел к выводу, что эта сила направлена непосредственно к Солнцу и убывает пропорционально квадрату расстояния от него.
Мы не можем не отметить, что этот анализ по сути своей является математической реализацией основных понятий, которые мы видели в мысленном эксперименте с Горой Ньютона.
Разложение движения на бесконечно малые части с учетом сил, определяющих любое отклонение от «естественного» движения (движения с постоянной скоростью), – это сущность механики Ньютона. Не желая делиться своими секретами, но страстно стремясь обозначить свое первенство, Ньютон опубликовал эту анаграмму:
6a cc d æ 13e ff 7i 3l 9n 4o 4q rr
4s 8t 12u x
Ее решением[30] является фраза на латыни:
Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.
Владимир Арнольд, выдающийся математик XX в., основательно изучивший работы Ньютона, любезно перевел ее так:
Полезно решать дифференциальные уравнения.
Вот более пространный перевод, который подводит итог нашему разговору:
Анализ движения путем рассмотрения его мельчайших частей – это хорошо. Он позволит вам определить силы из траекторий или траектории из сил.
Выведя всемирный закон тяготения из законов движения планет Кеплера, Ньютон использовал его, чтобы предсказать впечатляющее количество следствий. Это был синтез, вытекающий из его анализа. Вот неполный список этих следствий:
• Общую природу силы притяжения мы ощущаем на Земле. Анализируя движение Луны – ее величину. Как она меняется в зависимости от положения – на Земле.
• Движение спутников Юпитера и Сатурна и нашей Луны.
• Движение комет.
• Причины приливов (которые связаны с притяжением Луны и Солнца) и их основные характеристики.
• Форма Земли: слегка сплющенная.
• Медленное периодическое смещение направления земной оси, примерно на 1° за 72 года. Эффекты «прецессии равноденствий» были замечены еще древнегреческими астрономами, но ранее ни они, ни кто-либо еще не подходил даже близко к их объяснению.
Все эти приложения были количественными, и некоторые из них можно было проверить с большой точностью. Все они могли быть подтверждены наблюдениями и более сложными расчетами без каких-либо принципиальных изменений.
Ньютон назвал третью книгу своих «Начал», где изложил свой синтез, «Системой мира». Раньше ничего подобного не было. Ньютон взял некоторые величайшие задачи космологии и решил их в соответствии с математическими принципами с неслыханной до него и теоретически неограниченной точностью.
Реальной и идеальной.
Динамические законы Ньютона показывают красоту физического мира, но это красота очень отличается от той красоты, к которой стремились Пифагор и Платон. Динамическая красота менее очевидна и требует больше воображения, чтобы принять ее. Это красота законов, а не объектов или эффектов восприятия.
Мы можем понять разницу, сравнив модель Солнечной системы Кеплера, основанную на платоновых телах, с Системой мира Ньютона. В модели Кеплера Солнечная система сама по себе – красивый объект, воплощающий идеальную симметрию. Ее элементами являются сферы, разделенные пятью идеальными платоновыми телами. В Системе Ньютона реальные орбиты планет отражают первоначальный замысел Господа, возможно, слегка искаженный временем. (Подробнее об этом ниже.) Бог мог иметь и, возможно, имел в виду другие соображения, а вовсе не математическую мистику, поэтому от реальных орбит красоты никто не ждет и не находит ее. Красивы не орбиты сами по себе, а общие принципы, которые лежат в основе всех возможных орбит, и вся совокупность орбит. Это красота Горы Ньютона, усиленная ее тщательной проработкой.
Упрощение способствует росту
Ньютоновский метод анализа и синтеза имеет и другое название – редукционизм (упрощение). При этом сложный объект или предмет «упрощается» до чего-то более простого, если было показано или считается оправданным, что более сложные объекты можно анализировать через их составные части, а затем синтезировать их поведение из поведения этих частей.
Редукционизм имеет дурную славу, и не только потому, что «редукционизм» – так себе словечко. Самое очевидное значение этого слова наводит на мысль, что, когда вы что-то поняли с помощью метода анализа и синтеза, вы каким-то образом упростили его. Ваш насыщенный и сложный объект теперь «не более чем» сумма его частей. Если уж на то пошло – и здесь, когда дело близко касается человека, это начинает раздражать, – возможно, что и вы сами, и те, кого вы любите, являются «не более чем» собранием молекул, просто делающих свое дело и ведущих себя в соответствии с математическими правилами.
Поэты и художники романтической эпохи в ответ на триумф ньютоновской «редукционистской» науки выражали свое волнение по поводу присущего ей мотива «не более чем». Джон Китс, самый лирический из всех лирических поэтов, писал:
…Любое диво
От философии бежит пугливо!
Вот радугу в лазури зиждет Бог –
Но семь волшебных красок в каталог
Внесли и волшебство сожгли дотла.
Философ свяжет ангелу крыла,
Определит размер чудес и вес,
Очистит от видений грот и лес,
Погубит радугу…[31]
Уильям Блейк протестовал против ограниченного кругозора редукционизма (цветная вклейка K). На этой картине изображен Исаак Ньютон за работой и отражаются противоречивые чувства Блейка по его поводу. Его Ньютон – это фигура, преисполненная чрезвычайной сосредоточенности и целеустремленности, не говоря уже о сверхчеловеческом строении тела. В то же время он изображен с потупленным взором, потерянный в абстракциях и буквально повернутый спиной к необычному красочному пейзажу. Тем не менее Блейк (как и Китс) признавал, что миром правит математический порядок (вклейка L). В сложной мифологии Блейка изображенный здесь Уризен[32] – это двойственная фигура Отца, который одновременно несет жизнь и ограничивает ее. Трудно не заметить некоторое сходство с предыдущей картиной. Не является ли Ньютон толкователем Уризена или его реинкарнацией?
Хорошая картина действеннее вызывает эмоциональный отклик, чем назидательные разглагольствования. Перед нами в самом деле «картина, стоящая тысячи слов». Пожалуйста, на секунду не обращайте внимания на подпись, когда вы откроете вклейку М, а просто рассмотрите поразительно красивый шедевр абстрактного искусства.
Хорошо, а теперь прочтите подпись (если вы этого еще не сделали). Разве знание того, что эта картина может быть «редуцирована» до чистой математики, умаляет ее красоту? Для меня и, надеюсь, для вас открытие того, что простая математика может закодировать эту структуру, только прибавляет ей красоты. Конечно, она по-прежнему выглядит картиной. Но теперь вы также можете своим мысленным взором увидеть ее с другой точки зрения, как воплощение концепций. Она и Реальна, и Идеальна.
Ознакомительная версия.
