1. Радиальное значение наблюдаемых углов.
2. Оценка соотношений между наблюдаемыми углами.
3. Оценка синусов, косинусов и тангенсов измеренных углов на предмет присутствия математически значимых чисел.
«Эти оценки были выбраны из-за их простоты, достоверности и независимости от нашего условного обозначения углов как частей 360-градусной окружности», — объясняет Торун.
Взяв ортографическую проекцию пирамиды, Торун измерил все видимые углы с погрешностью (±)0,2° [9]. Эти замеры дали ряд математических отношений. Основываясь на том, что искусственный монумент будет иметь осмысленные размеры и пропорции, Торун стал изучать эти отношения.
Для того чтобы понять результаты его работы, сначала необходимо провести краткий экскурс в области священной геометрии.
Священные числа
В V веке до н. э. посвященные математических и геометрических мистерий философа Пифагора сообщали о своей принадлежности к братству тайным знаком. Встретив незнакомца, пифагореец предлагал ему яблоко. Если незнакомец тоже был пифагорейцем, он разрезал яблоко поперек через центр, чтобы открыть косточки, расположенные в форме пентаграммы [10].
Пентаграмма была священным символом пифагорейцев из-за своей связи с математической мерой, известной как «золотое сечение», или отношение φ:
«Нет сомнения, что греческие скульпторы и архитекторы включали это соотношение в свои произведения. Знаменитый греческий скульптор Фидий с успехом пользовался им. Самым наглядным его примером являются пропорции Парфенона» [11].
Соотношение φ получило свое название в честь Фидия. Оно является идеальным соотношением между двумя отрезками, которое производит наилучшее эстетическое впечатление, будучи включенным в пропорции произведения искусства или архитектуры. Прямоугольник, состоящий из сторон, соотношения между которыми основаны на «золотом сечении», будет более приятным на вид, чем любой другой прямоугольник.
Посмотрите на линию ABC:
А----В--------С.
Соотношение φ показано на рисунке, на котором длина отрезка AB также соотносится с длиной отрезка ВС, как длина отрезка ВС соотносится с длиной отрезка АС. Для возникновения такого эффекта соотношение должно составлять 1: 1,61803398.
Эстетический эффект золотого сечения остается загадкой, но пифагорейцы рассматривали его как отражение природной гармонии; то же самое число широко распространено в мире природы и органической жизни. Его можно найти в спиралевидной раковине улитки и в расстояниях между листьями на ветвях деревьев [12]. Пропорции человеческого тела также соответствуют золотому сечению — к примеру, отношение длины тела от головы до пояса и от пояса до ступней.
Пифагорейцы утверждали, что «число является мерой всех вещей», и пользовались геометрией как метафорой для более высоких концепций и метафизических построений. Для них φ было воплощением красоты — не субъективным мнением, как в пословице «Красота находится в глазах смотрящего», но качеством, внутренне присущим самому объекту. Красота находится в созерцаемом.
Vesica piscis
Золотое сечение также воспроизводится в одной из самых священных геометрических форм — vesica piscis, или «сосуд рыбы», — состоящей из двух одинаковых перекрывающихся окружностей, центр каждой из которых расположен на другой окружности.
Для древних геометров это изображение олицетворяло союз духа и вещества, неба и земли [13]. В нем воспроизводилось не только золотое сечение, но и константы священной серии квадратных корней из чисел 2, 3 и 5 [И]. Это сакральное изображение использовалось как основа различных старинных монументов, включая часовню Св. Девы Марии в аббатстве Гластонбери, а также Великую Пирамиду Гизы (согласно Джону Митчелу, специалисту по священным пропорциям) [15].
Тайный знак пифагорейцев с разрезанием яблока предназначался для передачи общей мудрости: знание числовой гармонии природы раскрывается через золотое сечение пентаграммы, а также через vesica piscis. Это послание имело невербальную природу; нужно было лишь обладать знанием универсального языка математики.
Но какое отношение это имеет к модели Торуна и пирамиде D&M? Он утверждает, что самое непосредственное.
Розеттский камень
Когда Ди Пьетро и Моленаар обнаружили пятиугольную пирамиду, они определили ее размеры: 1 миля х 1,6 мили [16]. Эти цифры, несомненно, очень близки к «золотому сечению» [17]. По мнению Ричарда Хогленда, они также могут иметь более глубокий смысл. Глядя на «изысканную двустороннюю симметрию пятисторонней структуры», он говорит:
«Передо мной внезапно возник другой поразительный аспект этого „магического“ соотношения: Леонардо да Винчи применял эти древние священные пропорции… к человеческому телу. Мне вдруг представилась необыкновенная возможность: если наложить знаменитую фигуру да Винчи „человек в круге“ на геометрические контуры пирамиды D&M, они совпадут. Пирамида кажется мне удивительным геометрическим подобием гуманоидных пропорций, возвышающимся посреди инопланетного ландшафта и находящимся почти в тени Центральной „гуманоидной“ структуры [Лица]» [18].
Эти слова Хогленда с самого начала привлекли внимание Торуна. Как попала универсальная константа эстетической пропорциональности на марсианскую гору естественного происхождения? Собственные находки Торуна оказались еще более удивительными, как подтверждается в авторитетном докладе Макдэниела.
«Торун открыл математически значимую фигуру, геометрия которой содержит математическую основу для шестиугольника, пятиугольника и античных геометрических пропорций „золотого сечения“. 20 внутренних углов, угловых отношений и тригонометрических функций модели с избытком содержат три квадратичных значения — V2, V3 и V5, а также две математические константы — я (отношение длины окружности к ее диаметру) и е (основание натуральных логарифмов)… За исключением V2 и Ѵз, константы появляются не в одиночных, но в семи разных математических комбинациях. Наибольшее количество избыточных значений дают е/я, е/Ѵ5 и ѴЗ. Каждое из этих значений повторяется четырежды и как минимум в двух разных режимах измерения» [19].
Иными словами, пирамида D&M выглядит как настоящий справочник по тем самым числовым значениям, которые считались священными у пифагорейцев из-за их универсальных гармонических качеств.
Подтверждение
Мы должны признать, что находимся под впечатлением модели Торуна, содержащей целый ряд геометрических констант. Но разве анализ любой пятиугольной фигуры не приведет к сходным результатам? Для ответа на этот вопрос Кейт Морган, электроник из Говардовского университета в Вашингтоне, написал компьютерную программу на языке Фортран. Сохранив два передних угла в 60°, он поворачивал «разделительные линии» на противоположной стороне под множеством разных углов, создав 680 вариантов пирамидальной формы. Его выводы подтвердили уникальность модели Торуна и показали, что это единственная пятиугольная форма с передними углами в 60°, которая может воспроизвести vesica piscis и одновременно значения φ, п, е, V2, ѴЗ и Ѵ5. Кроме того, она оказалась единственной, которая может представлять их все (кроме φ) в трех режимах измерения: углового расстояния, радиальной величины и тригонометрических функций! [20].
По-видимому, Торун обнаружил не только богатое, но и уникальное геометрическое «минное поле». Эта гигантская скала, содержащая пифагорейские константы, — настоящий философский камень.
Алхимия
В древнем искусстве алхимии главной задачей алхимика был поиск lapis exiliis, или философского камня, который превращал обычные металлы в золото. Этот камень якобы «упал с небес», как метеоритный камень бенбен в Гелиополе, о котором говорится в древнеегипетских мифах (пирамидальный камень, ассоциировавшийся с возрождением).
Камень бенбен содержал тайное знание о природе Вселенной: «на этом камне зашифрованы таинства жизни» [21]. Считалось, что он отделяет духовные качества от низменного вещества, а отдельные аспекты этого процесса были метафорами духовного преображения [22].
Этот пирамидальный носитель «всех таинств жизни» изображался в виде камня, однако охватывал все вещества, включая «de re animali, vegetabli et minerali» [23]. Про него также говорили, что он растет «из плоти и крови» и обладает телом, душой и духом [24]. Таким образом, он был изначально связан с возрождением, ростом и новой жизнью.
Торун странным образом обнаруживает сходные качества, относящиеся к значению е/Ѵ5, обнаруженному в марсианском пирамидальном камне:
«Взаимосвязь между е и V5 может иметь отношение к биологии. Пятисторонняя симметрия не характерна для неживых систем, однако жизненные формы на Земле часто проявляют пятистороннюю симметрию, особенно в растительном царстве. Константа е, основание натуральных логарифмов, также известна как закон органического роста. Это способ описания процесса развития, где одна ступень роста всегда пропорциональна его общей величине, как это часто бывает среди биологических систем. Большинство формул, изобретенных для исследования органического роста, будь то демографические исследования или прогнозы роста микробов и растений, включают основания натуральных логарифмов в качестве сомножителя. Таким образом, взаимоотношение между е и Ѵ5 можно интерпретировать как символ „экспонинциального роста жизни“» [25].
