Дайте, пожалуйста, формулу № 2. Здесь, в отличие от комплексных чисел, имеется не две и даже не три, а четыре базисных единицы: одна действительная и тройка мнимых единиц, как бы три «I»: «I, J, К». Квадрат каждой из них равен минус единице, так же как для комплексных чисел. Но, кроме того, и в этом была вся тонкость, почему эту алгебру не могли открыть раньше, между мнимыми единицами имеется весьма специфическое взаимное умножение: каждая пара перемноженных мнимых единиц приводит в результате к третьей. Самое забавное при этом, что если переставить порядок сомножителей, то результат изменит знак. То есть, например «I*J=K», а «J*I» будет равно уже «-K». Эта таблица оказывается единственной, исключительной во многих отношениях, и была доказана потом теорема, что кроме такой алгебры есть еще только одна подобная восьмимерная алгебра, алгебра октав, но и она в некоторых отношениях уже не столь красива, как алгебра Гамильтона.
Некоммутативность, то есть зависимость произведения от порядка сомножителей, действительно, по-видимому, лежит в основе этого мира, потому что она возникает везде: в квантовой механике, например, она является основой всего математического аппарата. Природа некоммутативности до сих пор не ясна. Но, может быть, она связана как раз с существованием таких исключительных алгебр.
Так вот, оказалось, что эта алгебра Гамильтона даже в большей степени «живет» и описывает и как бы «кодирует» наше трехмерное пространство, чем комплексные числа – двумерное (пространство). Потому что, если вы будете поворачивать плоскость, на которой «живут» комплексные числа, закон умножения будет меняться, будет оставаться постоянным только «модуль» комплексного числа. А если вы будете вращать трехмерное пространство, то закон умножения этой алгебры – и она единственная такая – будет оставаться инвариантным, он будет один и тот же во всех системах отсчета. Математики говорят, что группа симметрий, группа автоморфизмов этой алгебры соответствует группе вращений трехмерного пространства.
И поэтому после открытия Гамильтона начался настоящий кватернионный «бум», который продолжался долгие годы и даже вспыхивает эпизодически до сих пор. И действительно, эта алгебра удивительно тесно связана со свойствами нашего трехмерного пространства. Известно, что даже движение твердых тел, движение спутников и тому подобное рассчитывается очень легко и изящно в кватернионных переменных. До сих пор ничего лучшего невозможно предложить, это самый элегантный и самый простой математический аппарат, который позволяет все это рассчитывать.
Но Гамильтона волновало не это. Он хотел понять, как свойства физического Мира могут быть «скрыты» во внутренних свойствах этой алгебры. И более того: поскольку оказалось, что триплеты перемножать нельзя так красиво, как величины, содержащие четвертую единицу, у него сразу появилась мысль: а не связать ли эту четвертую единицу, действительную единицу, с физическим Временем? Это было задолго до теории относительности, задолго до Г. Минковского, который связал геометрически время и координаты в единое 4-мерное многообразие.
Конечно, ничего этого у Гамильтона не получилось. И теперь мы хорошо понимаем, почему: потому что эта алгебра не имеет прямого отношения к преобразованиям Лоренца. Для преобразований Лоренца, свойственных нашему миру и основных в теории относительности, эта алгебра чуждая. И это было одной из причин, почему со временем наступило разочарование в идеях Гамильтона и его последователей.
Где же нашелся выход? Выход нашелся в том, чтобы эту алгебру «удвоить», то есть каждую из ее компонент считать комплексной. Тогда мы естественно переходим к алгебре, содержащей преобразования Лоренца в качестве симметрии; но удивительным образом она оказывается тогда 8-мерной. И только в каком-то определенном подпространстве этого 8-мерного пространства, оказывается, действует геометрия нашего мира. Есть другие «срезы» и другие отвечающие им геометрии. Куда девать эти лишние измерения? Это очень долго было загадкой. И для меня, когда я начинал, это было загадкой. Сейчас я знаю примерный ответ на этот вопрос: они нужны; они нужны для того, чтобы в этом мире могли существовать нетривиальные физические поля и частицы-особенности – об этом позже.
Давайте поговорим теперь о том, что же такое сам по себе алгебродинамический подход? С чего он начался?
В теории функций комплексного переменного есть т.н. условия дифференцируемости, которые называются уравнениями Коши-Римана. Обычно их проходили раньше в университете в курсе теории функций комплексного переменного. Эти «условия аналитичности» представляют собой очень простые линейные дифференциальные уравнения.
Много попыток предпринималось для того, чтобы обобщить эти условия, эти уравнения, на алгебры больших размерностей, в частности, на алгебры типа кватернионов. Но необычное свойство некоммутативности этих алгебр приводило к тому, что все эти попытки оказывались или просто неудачными, или они полностью воспроизводили то, что мы знали из комплексного анализа, ничего нового не добавляя.
Я же попробовал учесть эту некоммутативность с самого начала, то есть определить свойства аналитичности функций в этих алгебрах так, чтобы в этом определении свойство некоммутативности фигурировало с самого начала. Я не буду забивать головы слушателей формулами, просто покажу одну формулу (покажите, пожалуйста, формулу № 1) для общего понимания «плотности информации», которая здесь имеет место. В этой формуле всего 4 значка, это условия дифференцируемости функций бикватернионного переменного – все отображения, все функции, которые удовлетворяют этому соотношению, мы рассматриваем как физические поля.
Для того чтобы найти конкретно физические поля, для того чтобы описать их особенности, нам нужно просто решить эти математические уравнения. Мы можем вообще при этой процедуре ничего не говорить ни о полях, ни о частицах, ни о пространстве-времени; мы можем просто говорить об отображениях, об особых точках этих изображений, то есть о чисто абстрактных математических понятиях. И только на самом дальнем этапе, когда у нас уже вырисовывается математическая картина, мы можем с достаточной уверенностью сказать, что это вот надо интерпретировать как поля, это как частицы, это как взаимодействие (а это как «световые потоки», о которых я попозже хочу поговорить).
Вот и сравните теперь плотность информации, когда физическая теория строится на основании одной такой формулы, с плотностью информации в современной теоретической физике, когда, например, характеристическая функция, так называемый «лагранжиан», описывающая электромагнитные и слабые взаимодействия, такова, что даже просто чтобы ее записать только изначально, надо потратить примерно страницу бумажного листа. Откуда, почему? Эти вопросы там не ставятся. Потому что так получается хорошо. И действительно, хорошо получается, ничего нельзя сказать. Но разве это есть понимание природы?
Немножко лучше дело обстоит сейчас в струнной теории: сейчас самое модное направление – это струнная теория, которая пытается объединить все взаимодействия и иметь дело с единой физикой на так называемой «планковской шкале», а уж из нее пытается получить физику низкоэнергетическую, то есть ту, которую мы и наблюдаем. Но там дело обстоит только немножко лучше. Там тоже масса взятых «с потолка» предположений и постулатов: скажем, физическое пространство, оно просто считается 10-мерным или 11-мерным только потому, что там и только там хорошо получается какая-то процедура, свойственная квантовой теории. А никаких внутренних, скажем геометрических оснований для этого нет. И это только одна из тех претензий, которые можно предъявить к бурно развивающейся струнной теории.
Вообще-то, по-видимому, та теория (структура), которая, в конце концов, должна получиться в физике, во многом будет объединением всех этих попыток, более или менее удачных. То есть это будет некая теория (структура), которая будет допускать описание на многих эквивалентных языках. Это не значит, что мы можем, скажем, в духе принципа дополнительности Бора говорить о корпускулярных и, одновременно, о волновых свойствах материи. Нет, это означает, что вы можете выбрать какой-то язык и на нем последовательно описать все; но при этом вы можете выбрать и другой язык (скажем, геометрический или потом алгебраический) и получить, по сути дела, те же самые результаты, приговаривая при этом совершенно другие слова. Я думаю, может быть, это будет именно так. Но не знаю, посмотрим.
Хорошо. Итак, у нас есть эта формула, мы решаем соответствующие ей уравнения и получаем поля. Что же именно у нас получается в итоге? В итоге у нас получается очень забавная картина. Мы помним, что поля – это функции (удовлетворяющие нашему уравнению); а что же такое тогда частицы? А частицы оказываются особыми точками этих функций-отображений. Ведь посмотрите, что получается у нас, скажем, в обычной электродинамике. Из школы известно: есть у нас заряд, то есть какая-то точка (если допустим, что заряд точечный, положительный или отрицательный), и он создает вокруг себя поле. Мы «рисуем» это поле; оно действует на другие заряды; они под действием этого поля также начинают как-то совершать какие-то движения. В свою очередь они создают поле, которое действует на «первые» заряды и так далее. Ничего хорошего: сущностей очень много.
