Занимательная математика всегда была страстью Роджера Пенроуза. Активный интерес ученого к этой области, можно сказать, семейная черта, унаследованная им от отца, генетика Л. С. Пенроуза, также увлекавшегося математическими головоломками. В 1950-е годы отец и сын Пенроузы, находясь под сильным впечатлением от знакомства с творчеством голландского художника Морица Эшера, придумали пару собственных «невозможных фигур» в эшеровском духе: широко известные ныне «бесконечную лестницу Пенроузов» и треугольник-«трибар».
Впоследствии Эшер использовал идеи Пенроузов в таких своих литографиях, как «Водопад» и «Восхождение и спуск».
«Бесконечная лестница» и треугольник-«трибар».
Хотя основная работа Пенроуза сосредоточена на теории относительности и квантовой физике, свою докторскую диссертацию в Кембридже он защищал в области алгебраической геометрии. К этому разделу математики весьма тесно примыкают легкомысленные на первый взгляд задачи геометрических головоломок, связанных с проблемой «замощения», т. е. разбиения плоскости фигурами определенной формы.
Задачи разбиения плоскости тривиально решаются с помощью периодически повторяющихся комбинаций из таких фигур как равнобедренные треугольники, прямоугольники, шестиугольники, и т. п. Пенроуза же интересовала проблема отыскания такой формы фигур, которая приводила бы к замощению плоскости без порождения повторяющихся узоров. В действительности эта задача чрезвычайно важна, поскольку связана с проблемой разрешимости в математической логике. На протяжении многих лет считалось, что не может быть таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики. Затем, в 1960-е годы решение нашли, но для плиток тривиальной квадратной формы, снабженных несколькими пазами и выступами.
Пенроузу удалось найти решение для неквадратных плиток, однако поначалу для этого требовалось несколько тысяч фигур различной формы. Еще несколько лет понадобилось на то, чтобы к 1973 г. сократить это число до шести. В конце же концов оказалось, что таких плиток нужно всего две, причем форма их предельно проста и замыкается на одну из величайших тайн природы – знаменитое «золотое сечение», лежащее в основе всех гармоничных соотношений. Получаются фигуры из ромба с углами 72 и 108 градусов, большая диагональ которого поделена в отношении, равном «золотому сечению». Эти фигуры получили название Kite и Dart («воздушный змей» и «дротик»).
Плитки мозаики Пенроуза.
Чуть позже выяснилось, что и две фигуры можно свести до совсем простых форм – просто ромбов, составленных на основе «золотого треугольника» (с углами 36 и 144 градуса).
Мозаики Пенроуза стали предметом пристального изучения, поскольку демонстрируют множество примечательных свойств и поистине неисчерпаемую глубину, скрытую за «золотым сечением»: количество укладываемых плиток постоянно пребывает в соотношении, близком к золотой пропорции; получающиеся узоры «квазисимметричны» и имеют ось симметрии пятого порядка; структура рисунков мозаики тесно связана с последовательностью Фибоначчи…
Пенроуз вполне понимал, что найденные им фигуры можно заложить в основу коммерческих игр-головоломок. Поэтому он несколько лет предусмотрительно воздерживался от публикации своего открытия до тех пор, пока не оформил на него патенты в Британии, США и Японии. Правда, в результате судьба чуть было не сыграла с излишне, быть может, расчетливым ученым злую шутку, поскольку в 1976 году по сути дела то же самое открытие независимо сделал молодой американский математик Роберт Амман.
И случись так, что обратил бы свое внимание великий популяризатор науки Мартин Гарднер на открытие Аммана, а не Пенроуза, то и вошли бы знаменитые мозаики в историю совсем под другим именем… но что сделано, то сделано, и патент на свое изобретение Пенроуз передал компании Pentaplex, которая делает на этой основе забавные, но не такие уж простые в решении мозаики-головоломки из «петушков» и «курочек».
Мозаики Пенроуза стали предметом пристального изучения, поскольку демонстрируют множество примечательных свойств и поистине неисчерпаемую глубину.
В 1995 году ученый-математик по имени Роджер Шлафли оформил патент на два очень больших простых числа, им найденных, а посему, в некотором смысле, изобретенных. По поводу подобного «изобретения» в научном сообществе поднялась целая буря протестов, поскольку еще никому в голову не приходило объявлять права интеллектуальной собственности на числа. Среди громко осудивших Шлафли, как это ни странно, был и сэр Роджер Пенроуз, с возрастом, похоже, несколько изменивший свои воззрения на этическую проблему патентования математических решений. «Это абсурд, – сказал он,– математика существует для всех».
Но судьба тут же приготовила Пенроузу ироничный урок. В 1997 году его жена принесла из магазина пачку рулонов туалетной бумаги, на которой ученый мгновенно узнал характерный рисунок своего знаменитого детища – мозаику Пенроуза! Последовавшее негодование ученого по-человечески вполне можно понять. Он столько лет занимался поиском решения сложнейшей задачи, а тут некая бесстыжая фирма использует его открытие для подтирания… ну, понятно чего. Математика – это, конечно, для всех, но не до такой же степени. И оскорбленный Пенроуз подал на компанию в суд (хотя какой-нибудь рассудительный индус, наверное, на подобную коллизию прореагировал бы спокойнее – «это карма»).
Ныне мозаики Пенроуза – это не только куча доказанных абстрактных теорем, головоломки Pentaplex и комичная история с сортиром. В 1984 году сотрудники НИСТ США сделали сенсационное открытие, обнаружив непериодическую структуру на электронограмме быстро охлажденного сплава марганца и алюминия. Расположение рефлексов – светлых пятен – на снимке обладало осью симметрии 5-го порядка, что с математической точки зрения убедительно свидетельствовало о существовании непериодического пространственного расположения атомов, аналогичного мозаике Пенроуза.
Электронограмма непериодического кристалла с осью симметрии пятого порядка.
Это открытие было чрезвычайно сильным ударом по фундаментальным догмам кристаллографии, где долгое время господствовало утверждение, что кристаллы могут обладать лишь осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка, но никак не 5-го. Согласно другой догме, твердое вещество могло существовать только в двух формах: либо с регулярной периодической решеткой атомов в кристалле, либо в хаотическом беспорядке атомов аморфных тел, как в стекле, к примеру. Открытие кристаллов с непериодической «квазисимметричной» структурой означает, что между аморфными телами и периодическими кристаллами имеется не четкое разграничение, как казалось долгое время, а плавный переход.
Но означает это и нечто значительно большее. В частности, для понимания природы человеческого сознания, способного предсказывать вещи, противоречащие повседневному опыту и не вычисляемые с помощью компьютера.
Тени сознания императора
Проблема непериодического покрытия плоскости, решаемая мозаикой Пенроуза, как было доказано значительно позже, принадлежит к классу задач, не вычислимых алгоритмически на компьютере. И это далеко не единственная задача из тех, что успешно решены человеком, но не укладываются в логику вычислительных машин. Более того, если учитывать богатый опыт кристаллографии, то решение найдено Пенроузом и вопреки опыту, в некотором смысле. Тем не менее ответ на задачу искался математиком с завидным упорством по той, в сущности, причине, что Пенроуз чувствовал – решение есть.
Ученым, делающим открытия, очень хорошо известно, что решения задач нередко рождаются как бы уже в готовом виде. И лишь затем, для обоснования найденного ответа и внятного его пояснения коллегам, выстраиваются цепочки формул или логических аргументов. Правда, удается это не всегда, и в физике, к примеру, имеется достаточное количество формул, которые ниоткуда не выводятся, а существуют сами по себе. Как проявления пытливого ума человеческого.
Пенроуза крайне занимала эта особенность мыслительных процессов. Но чем больше он над этим размышлял, тем больше понимал, что сознание – это такая область науки, где по сию пору вопросов существует намного больше чем ответов. В итоге он, будучи сам математиком и физиком, пришел к выводу, что ухватить суть разума в строгих научных и логических терминах человеку мешает непонимание фундаментальных законов физики.
В 1989 году Пенроуз выпускает книгу «Новый разум императора. О компьютерах, сознании и законах физики» (The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics). Книга стала заметнейшей вехой в дискуссиях, ведущихся вокруг феномена сознания и проблем построения мощных систем искусственного интеллекта (ИИ).
