Правило или теорему сложения дисперсий сформулировал и доказал В. Лексис. В связи с тем что некоторые совокупности делятся на группы, помимо общей дисперсии, могут быть рассчитаны также дисперсии для каждой отдельной группы. Кроме этого, можно рассчитать среднюю из групповых дисперсий и межгрупповую дисперсию. В. Лексис доказал, что между данными показателями существует связь.
Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутри-групповой и межгрупповой дисперсий:
где σобщ – общая дисперсия:
σвнгр – внутригрупповая дисперсия:
σгр – групповая дисперсия:
σмегр – межгрупповая дисперсия:
Если межгрупповая дисперсия равна нулю, то общая дисперсия равна средней из групповых дисперсий.
С помощью теоремы сложения дисперсий решаются следующие задачи:
1) исследование зависимостей между признаками;
2) оценка тесноты связи между признаками;
3) оценка точности типичной выборки.
12. Понятие индексов. Классификация индексов
Индексный метод является одним из важнейших методов в статистике. Индексы относятся к числу обобщающих показателей. Следует различать понятие индекса в широком и узком смысле.
В широком смысле индекс – это относительная величина, характеризующая изменения явлений во времени (динамику). Но подобные относительные величины могут быть рассчитаны лишь для простых явлений или однородных совокупностей, единицы которых могут быть суммированы. Такие совокупности называются соизмеримыми.
Индекс в узком смысле слова – это обобщающий показатель сравнения двух совокупностей, состоящий из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию.
С помощью индексов решаются две основные задачи:
1) синтетическая задача – обобщение, синтез дина мики отдельных элементов в сложные явления в од ном обобщающем показателе (сводном индексе);
2) аналитическая задача – анализ влияния изменения отдельных факторов на изменение сложного явления.
Классификация индексов по различным при знакам:
1) по степени охвата совокупности выделяют индивидуальные индексы (элементарные) и общие индексы (сводные или сложные);
2) по форме построения выделяют агрегатные, средневзвешенные (арифметические, гармонические) индексы;
3) по применяемым весам выделяют индивидуальные индексы с постоянными и переменными весами;
4) по состоянию явления выделяют индексы переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов;
5) по содержанию индексируемых величин выделяют индексы цен, физического объема товарооборота, себестоимости, трудоемкости и т. д.;
6) по базе сравнения выделяют динамические (базисные, цепные) индексы, индексы выполнения плана, планового задания, территориального сравнения.
Классификация показателей при построении индексов:
1) количественные показатели, характеризующие объем того или иного явления.
К ним относятся:
а) q – физический объем товарооборота (количество проданной продукции в натуральном выражении);
б) q – физический объем продукции (количество произведенной продукции на предприятии);
в) t – число рабочих;
г) h – посевная площадь и др. Количественные показатели получают путем подсчета;
2) качественные показатели характеризуют уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности.
К ним относятся:
а) р – цена единицы товара (себестоимость);
б) z – себестоимость единицы продукции (затраты на производство единицы продукции);
в) t – трудоемкость единицы продукции (затраты рабочего времени на производство единицы продукции);
г) w – производительность труда (выработка продукции в единицу времени);
д) у – урожайность;
3) суммарные (итоговые, количественно-качественные) показатели, характеризующие суммарные, общие размеры исследуемого явления.
К ним относятся:
а) S – товарооборот:
S = p × q;
б) Т – затраты рабочего времени (труда) на производство всей продукции:
Т = t × q;
в) С – затраты на производство продукции:
С = z × q;
г) V – валовой сбор с/х культур по видам:
V = y × n.
13. Индивидуальные индексы
Индивидуальный индекс – это отношение величины показателя в отчетном или текущем периоде к величине того же показателя в базисном периоде:
где i – индивидуальный индекс;
х — любой индексируемый показатель (качественный, количественный, качественно-количественный);
1 – отчетный или текущий период;
х1 – сравниваемый уровень;
0 – базисный период;
х0 – базисный уровень.
Индивидуальные индексы строятся для соизмеримых однородных совокупностей и чаще всего выражаются в процентах.
Индивидуальный индекс характеризует изменение объема или уровня исследуемого показателя в отчетном периоде по сравнению с базисным. Если ix < 100 %, то уровень индексируемого показателя снизился по сравнению с базисным периодом. Если ix > 100 %, то уровень индексируемого показателя увеличился по сравнению с базисным периодом. Если ix = 100 %, то уровень индексируемого показателя остался прежним.
Примеры индивидуальных индексов:
1) индивидуальный индекс цен:
2) индивидуальный индекс физического объема товарооборота:
3) индивидуальный индекс товарооборота:
В связи с тем, что индивидуальные индексы используются для изучения динамики индексируемого показателя за короткие и более продолжительные периоды, возникает необходимость исчисления системы последовательных индексов. Различают два метода последовательного индексирования.
1. Метод постоянной (фиксированной) базы.
Согласно данному методу один из периодов, находящихся в знаменателе, принимается в качестве базисного, а остальные, находящиеся в числителе, последовательно меняются.
Предположим, что имеются данные р0, р1, …, рn-1, pn. Тогда система индивидуальных индексов с постоянной базой может быть записана следующим образом:
Это система базисных индексов. Индексы этой системы называются базисными и показывают, как изменяется цена по мере увеличения длительности рассматриваемого периода по отношению к одной базе.
2. Метод меняющейся (переменной) базы.
Согласно данному методу каждая индексная система исчисляется на основе своей базы по определенному порядку: в качестве базы индекса принимается предшествующий i-ый период.
Система индексов меняющейся базы может быть записана следующим образом:
Эта система цепных индексов. Индексы этой системы называются цепными, они характеризуют цену от одного периода к другому.
14. Агрегатная форма общего индекса. Правила взвешивания общих индексов
В связи с тем что статистика часто имеет дело с несоизмеримыми совокупностями, для изучения динамики таких совокупностей используют общие индексы или собственно индексы. Они строятся в агрегатной форме и в средней форме.
Агрегатная форма общего индекса качественных показателей.
Рассмотрим агрегатную форму общего индекса цены. Первоначально эти индексы строились по формулам, предложенным учеными Г. Дюто и П. Карли. Однако эти формулы обладали рядом недостатков, поэтому позднее были предложены другие формулы, например формула Ласпейраса:
где р — индексируемая величина (цена);
q — количество проданных товаров в натуральном выражении (веса).
В настоящее время именно эта формула используется при изучении динамики цен. Этот индекс характеризует изменение цен в среднем по совокупности товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным.
Общий индекс цены можно также определить по формуле Пааше:
Эта формула длительное время использовалась в СССР при изучении динамики цен. Но с переходом к рыночной экономике стала существенно изменяться структура потребительских расходов населения, т. е. на динамику цен существенное влияние стало оказывать изменение параметра q.
Правило взвешивания общих индексов качественных показателей.
Общий индекс качественных показателей в агрегатной форме взвешивается по весам отчетного периода. Например, общий индекс себестоимости в агрегатной форме:
Общий индекс урожайности в агрегатной форме:
