Ознакомительная версия.
Для решения этой задачи были введены другие мерила для нахождения средне-статистической величины, позволяющие в таких случаях подойти ближе к среднему арифметическому кривой распределения Гаусса – мода и медиана.
Мода – это наиболее часто встречающееся значение переменной. Мода позволяет выбирать в качестве среднего наиболее вероятное значение. В данном случае мода будет равна 300 руб.
Медиана – среднее по счету значение в ряду значений переменной, упорядоченному в порядке возрастания или убывания. Медиана позволяет отбрасывать как крайне большие, так и крайне малые значения переменной. В данном случае мы просто отбрасываем крайнее значение суммы чека и получаем, что медиана равна 300 руб.
ПРИМЕР . «Экстрасенсы». Рассчитаем вероятность случайного угадывания предмета эксрасенсами, не имеющую отношению к сверхестественным способностям. Допустим, у нас есть 3 коробки, и только в одной из них спрятан некий предмет, который экстрасенсы должны найти. Положим, что это – первая коробка. И у нас есть 1 экстрасенс. Чтобы вычислить вероятность, обратим внимание на то, что здесь есть 3 элементарных события – экстрасенс назвал первую коробку или вторую коробку или третью коробку. Их можно записать для наглядности таким образом:
1 0 0 – угадал
0 1 0 – не угадал
0 0 1 – не угадал
Вероятность случайного угадывания равна 1/3, т. е. 33 %, вероятность промаха 2/3 = 67 %. И заметьте – в таких опытах – по одиночке – экстрасены почему-то не участвуют!
А теперь рассмотрим второй вариант – те же 3 коробки, но уже 2 экстрасенса. Их ответы обозначим числами 1 и 2 Вероятность того, что хотя бы один угадает, существенно повышается. Вот элементарные события:
1 2 0
2 1 0
2 0 1
1 0 2
0 1 2
0 2 1
(12) 0 0 – здесь оба угадали
0 (12) 0
0 0 (12)
Как видим, в 5 из 9 событий хотя бы 1 экстрасенс угадал ответ. Значит, вероятность случайного угадывания уже равна 5/9, т. е. 55 %.
Математически вероятность промаха во втором случае равна произведению вероятностей промаха каждого из случаев:
(2/3)2 = 4/9
А значит, вероятность угадывания равна 1 – 4/9 = 5/9 = 55 %.
А теперь добавим 3-го экстрасенса. Легко видеть, что и здесь количество промахов уменьшается – оно уже равно произведению трех вероятностей:
(2/3) 3 = 8/27 = 30%
А вероятность угадывания равна уже 70 %. А если над тремя коробками гадают 5 экстрасенсов, шаманов и колдунов, то вероятность промаха равна:
(2/3)5 = 32/243 = 13%
А значит, вероятность случайного угадывания равна уже 87 %:
100 % – 13 % = 87%
Это уже весьма вероятное событие.
А когда в таком «опыте» участвует 10 экстрасенсов, колдунов, магов и шаманов, то вероятность промаха равна всего 2 %:
(2/3)10 = 2%
А значит, вероятность случайного угадывания равна уже 98 %! Это уже практически достоверное событие.
Следовательно, на так называемых «битвах экстрасенсов» эксперимент поставлен уже изначально антинаучно, математически некорректно. Вместо экстрасенсов можно поставить любых людей или даже животных или компьютеры – результат случайного попадания будет в точности таким же!
И это все, естественно, только в том случае, если экстрасенсы не сговариваются и не видят предыдущие результаты. Если же они видят предыдущие результаты или сговорились, то достаточно называть следующую коробку и с вероятностью 100 % всего 3 экстрасенса угадают правильную.
Чтобы проверить способности экстрасенсов по-научному, надо существенно снизить фактор случайного совпадения. Для этого надо поставить математически корректный опыт – с 1000 коробками, 1 предметом и 1 экстрасенса – его и проверять. Тогда вероятность случайного угадывания будет равна 1/1000 =
0,1 %. И добиться проверяемости – поставить такой эксперимент 1000 раз с одним и тем же экстрасенсом и каждый раз тасовать коробки. При этом имейте ввиду – даже если он и угадает 1 раз из 1000, то это не засчитается, ибо это попадание находится в пределах фона 0,1 % – оно вероятно. А вот если его результат в тысяче таких опытов существенно превысит 0,1 % и будет составлять около 100 %, то тогда можно было бы говорить о каких-то паранормальных способностях. А пока результаты экстрасенсов в этом математически корректном опыте будут не более 0,1 %, то ученые всего мира будут твердо стоять на позициях материализма-атеизма и продолжат заявлять, что вера в экстрасенсов – антинаучная ложь, опровергнутая фактами.
Таким образом, знание теории вероятностей и математической статистики хотя бы на начальном уровне уже позволяет Вам защитить себя от обмана, мошенничества, промывания мозгов и манипуляции сознанием. И в результате этого сэкономить деньги на экстрасенсах, магах, колдунах и шаманах.
ОПЫТ . Не для фанатиков. Вы можете поэкспериментировать с чёрным котом, чтобы он переходил Вам дорогу каждый день в течение 100 дней (мотивируя его кусочками сыра или колбасы), и затем сравнить эти 100 дней своей жизни с другими 100 днями своей жизни, в течение которых чёрный кот не переходил Вам дорогу.
Результаты обоих опытов запишите в лабораторную тетрадь в процентном отношении и сравните. Найдите среднее арифметическое, моду и медиану каждой выборки и сравните их.
Однако следует иметь ввиду, что есть явление психосоматических заболеваний – когда человек может даже чем-либо заболеть из-за чрезвычайно сильного психического напряжения, например если человек, верующий в приметы, объективно взвинтит себе нервы при виде черного кота, а потом в таком нервном состоянии сам себе создаст какие-нибудь проблемы. В данном опыте этот фактор надо исключить. Для этого надо проводить опыт как минимум двум людям – атеисту и человеку, верующему в приметы. У атеиста черный кот не вызывает приступа тревоги. Контрольный опыт с участием атеиста исключит влияние психосоматических факторов, которые могут проявиться у верующего и могут быть им восприняты, как якобы подтверждение плохой приметы.
Как показывают многочисленные опыты, чёрные коты никак не влияют на жизнь атеистов, равно как и иные приметы. Даже в одной советской песне поётся: "а пока наоборот – только чёрному коту и не везет!".
Но лишь некоторые приметы имеют научное объяснение и потому подтверждаются опытами – например хлеб с маслом падает маслом вниз по той причине, что плотность масла выше плотности рыхлого хлеба. Так что даже и здесь нет никакого "злого рока" и "закона Мерфи". Это легко объясняется школьным курсом физики.
6. Основы математической логики. Дедукция и индукция. Необходимость и достаточность
Мы не будем здесь подробно рассматривать предмет математической логики – есть много иных учебников по логике, однако общее краткое представление о законах логики крайне важно для формирования научного метода мышления и понимания научного атеизма. Ведь в основе многих ошибочных выводов, примет, религиозных верований и лженауки часто лежат логические ошибки.
Не всякий вывод является правильным. Чтобы делать правильные выводы, надо знать законы математической логики.
6.1. Дедукция и индукция – логические переходы от общего к частному и наоборот. Метод полной математической индукции и логическая ошибка неполной индукции
Дедукция – логический переход от общего к частному. Если некий элемент принадлежит некоторому множеству элементов, и некое высказывание верно для всего множества, то оно верно и для этого элемента.
Индукция – логический переход от частного к общему. Если некий элемент принадлежит некоторому множеству элементов, и некое высказывание верно для одного элемента, то оно отнюдь не всегда верно для всего множества. Индукция, в отличие от дедукции, верна не всегда. Истинность индуктивного перехода надо всегда доказывать . Для этого есть метод полной математической индукции. Суть этого метода заключается в следующем:
1. сначала высказывание проверяется для одного элемента множества (для n=1)
2. затем проверяется шаг индукции – если из предпосылки о верности высказывания для одного элемента следует его верность и для другого элемента (если из предпосылки верность для n=k следует верность и для n=k+1)
Если высказывание верно для обоих пунктов, тогда оно верно для всех элементов множества. Если высказывание неверно хотя бы для одного пункта, то оно неверно и для всего множества элементов.
Примеры применения метода полной математической индукции есть в учебниках по математике.
Очень частая логическая ошибка – неполная индукция. Например: "1 января – праздник, 2 января – праздник, 3 января – праздник, значит все дни – праздники". Здесь не доказан шаг индукции. В результате логической ошибки неполной индукции возникают приметы, религии и другие ошибочные взгляды. Например, после 2–3 наблюдений кто-то сделал вывод о наличии некой приметы или предполагаемой закономерности. Но математическая логика запрещает так делать.
В естественных науках – в физике, химии и пр. – шаг полной математической индукции может быть доказан посредством нахождения материальной причинно-следственной связи между явлениями природы. Например, законы сохранения массы, энергии и импульса объясняются через однородность времени и пространства (равноценность всех моментов времени, точек пространства), закон сохранения момента импульса – через изотропность пространства (равноценность всех направлений). Биологическая эволюция объясняется изменчивостью, мутациями, наследственностью и естественным отбором. Второй закон термодинамики имеет статистическое объяснение по Больцману. Закон Хаббла объясняется расширением Вселенной – разбеганием галактик и пр.
Ознакомительная версия.
