Такое заявление подразумевает фундаментальное заблуждение о природе математики и ее отношении к эмпирическим наукам. В то время как окончательным доказательством в физике считается эксперимент, в математике это не так. Можно иметь миллиард частных свидетельств о том, что что-то является верным, но миллиард первое опрокинет все здание. До тех пор пока что-то полностью не доказано при помощи чистой логики, оно остается гипотезой.
В физике и других эмпирических науках истинность любого утверждения всегда является предметом ревизии. Теория тяготения Ньютона продержалась более двух столетий, но из-за присущих ей ограничений в конце концов была заменена теорией Эйнштейна, имеющей собственные ограничения, которые когда-нибудь приведут к замене ее теорией квантовой гравитации, например теорией струн. В то же время математика, на которой базируется ньютоновская механика, является на сто процентов верной и никогда не изменится.
Чтобы сформулировать теорию гравитации, Ньютону пришлось попутно изобрести математический анализ. Когда теория гравитации Ньютона оказалась бессильной объяснить новые эксперименты из-за присущих ей ограничений и была разработана общая теория относительности, мы не отказались от математического анализа. Мы держимся за математику, которая является не пустым звуком, но жизненной необходимостью, понимая, что ньютоновская механика представляет собой удивительно хороший инструмент для большинства ситуаций, хотя ее и нельзя применять в предельных случаях.
Теперь перейдем к более современным вещам, которые ближе моему сердцу. Тридцать с лишним лет назад я доказал существование пространств, которые сегодня называются многообразиями Калаби-Яу. И их существование вовсе не зависит от того, окажется ли теория струн всеобъемлющей теорией природы. Следует признать, что в доказательстве могут быть обнаружены слабые места и все аргументы могут рассыпаться, как карточный домик. Но в случае гипотезы Калаби доказательство было проверено столько раз, что вероятность найти ошибку, по существу, равна нулю. Не только пространства Калаби-Яу остались в физике, но и методы, которые я использовал для решения задачи, применяются с большим успехом для многих других математических задач, в том числе и для задач алгебраической геометрии, которые не имеют явных связей с исходной гипотезой.
Действительно, полезность пространств Калаби-Яу в физике в некотором смысле не имеет отношения к вопросу о важности математики. Рискуя показаться нескромным, я мог бы добавить, что в 1982 году я получил медаль Филдса, одну из самых почетных наград в математике, главным образом за доказательство теоремы Калаби. Вы можете заметить, что эту награду мне вручили за несколько лет до того, как физики узнали о многообразиях Калаби-Яу и до появления на карте самой теории струн.
Что касается теории струн, то математика, лежащая в ее основе, или вытекающие из нее следствия, являются абсолютно верными, независимо от того, какое окончательное решение примет суд присяжных в отношении самой теории. Я пойду дальше: если математическая теория, лежащая в основе теории струн, является веской и строго доказанной, то она будет прочно стоять на ногах, независимо от того, живем ли мы на самом деле в десятимерной Вселенной, состоящей из струн и бран.
Что это может означать для физики? Как я уже упоминал, поскольку я математик, не мне судить о справедливости теории струн, но я выскажу некоторые идеи и замечания. Конечно, теория струн остается не только недоказанной, но и непроверенной. Тем не менее главным инструментом проверки работы физиков остается математическая последовательность теории, и пока теория струн выдержала этот экзамен с честью. Последовательность в данном случае означает отсутствие противоречий. Это означает, что если то, что вы вставляете в уравнения теории струн, является корректным, то и то, что вы получите с помощью этих уравнений, тоже должно быть корректным. Это означает, что когда вы делаете расчеты, результаты не расходятся и не стремятся к бесконечности. Функции остаются разумными и не превращаются в тарабарщину. Хотя этого далеко не достаточно, чтобы удовлетворить суровых критиков, но это важная отправная точка. На мой взгляд, в этой идее есть доля истины, даже если природа и не играет по такому сценарию.
Эдвард Виттен, похоже, разделяет эту точку зрения. Он утверждает, что математическая непротиворечивость «была одним из самых надежных проводников для физиков в минувшем столетии».[262]
Учитывая, насколько трудно разработать эксперимент, который мог бы проникнуть в физику планковских масштабов, и насколько дорогим он может быть, если нам когда-нибудь удастся его придумать, то все, что мы, вероятно, сможем сделать, это именно проверка теории на непротиворечивость, которая, тем не менее, по словам математика из Беркли Николая Решетихина, «может быть очень мощной». «Именно поэтому вершина теоретической физики все больше становится математической. Если ваши идеи не являются математически непротиворечивыми, то их можно сразу же отбросить».[263]
Теория струн не только математически непротиворечива, но и, вроде бы, соответствует всему, что мы знаем о физике элементарных частиц, а также предлагает новые пути для решения проблем пространства и времени — гравитации, черных дыр и других головоломок. Мало того, что теория струн согласуется с устоявшейся, хорошо проверенной физикой квантовых теорий поля, но, похоже, и неразрывно связана с этими теориями. «Никто не сомневается, что, например, такие калибровочные теории, как теория Янга-Миллса для описания сильного взаимодействия, дают фундаментальное описание природы, — утверждает Роберт Дикграаф, физик из Амстердамского университета. — Но калибровочные теории фундаментально связаны со струнами». Это следует из принципа дуализма, который декларирует эквивалентность теории поля и струнной теории, демонстрируя взгляд на одну и ту же задачу с разных точек зрения. «Невозможно доказать принадлежность теории струн к физике, поскольку она неразрывно связана со всеми вещами, которые нам дороги, — добавляет Дикграаф. — Поэтому мы не можем избавиться от теории струн, независимо от того, описывает она нашу Вселенную или нет. Это всего лишь еще один инструмент для осмысления фундаментальных свойств физики».[264]
Теория струн также стала первой непротиворечивой теорией квантовой гравитации — самого больного вопроса современной физики. Но она пошла еще дальше. «Теория струн обладает прекрасной предсказательной силой в отношении гравитации», — утверждает Виттен. Под этим он подразумевает, что теория струн делает больше, чем просто описывает гравитацию. «Этот феномен встроен в рамки теории, и тот, кто ничего не знает о гравитации, мог бы открыть ее, как естественное следствие самой теории».[265] В дополнение к квантованию гравитации теория струн подошла к решению таких задач, как проблема энтропии черной дыры, которую не удается решить другими средствами. В этом смысле теорию струн уже можно считать успешной теорией на определенном уровне, даже если она не станет окончательной теорией физики.
Хотя этот вопрос вынесен на обсуждение, можно не сомневаться, что теория струн приведет к бесценному кладу новых идей, новых инструментов и новых направлений в математике. Например, открытие зеркальной симметрии привело к появлению «семейных предприятий» в области алгебраической и исчислительной геометрии. Зеркальная симметрия, то есть идея, что большинство пространств Калаби-Яу имеют зеркального партнера с другой топологией, но соответствующего той же физике, была открыта в контексте теории струн, а ее справедливость подтверждена математикой. Это, как мы видели, делается по типичной схеме: теория струн может дать понятия, намеки и подсказки, а математики в большинстве случаев обеспечивают доказательство.
Одна из причин, по которой зеркальная симметрия представляет такую ценность для математики, заключается в том, что сложные вычисления для одного пространства Калаби-Яу могут оказаться намного проще для его зеркального партнера. В результате, исследователи смогли в короткие сроки решить многовековые проблемы математики. Гомологическая зеркальная симметрия и теория Строминджера-Яу-Заслоу (Strominger-Yau-Zaslow — SYZ, СЯЗ), которую разрабатывают с середины 1990-х годов, вскрыли неожиданные, но полезные связи между симплектической геометрией и алгебраической геометрией — двумя разделами математики, которые ранее рассматривались отдельно. Хотя зеркальная симметрия была открыта при исследовании теории струн, истинность ее математического фундамента не зависит от теории струн. «Это явление, — отмечает Эндрю Строминджер, — можно описать так, что оно вообще не будет включать теорию струн, [но] прошло бы много времени, пока бы мы его обнаружили, если бы у нас не было теории струн».[266]
