В этом случае p1, …, pn суть вероятности элементарных исходов ω1, …, ωn или просто элементарные вероятности.
Каждому множеству A из ξ(Ω) поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью реализации совокупности исходов. Оно определяется как сумма вероятностей элементарных исходов, входящих в A:
где ik — номера элементарных исходов, входящих в совокупность Aj.
Если P(A) > 0, то частное Р(ВА) = Р(АВ)/Р(А), где AB — пересечение множеств А и В, называется условной вероятностью реализации совокупности исходов В при условии реализации совокупности исходов. Отсюда непосредственно следует, что Р(АВ) = Р(ВА)Р(А).
Заключение по индукции даёт общую формулу Р(А1А2…Аn) = Р(А1)Р(А2А1)P(A3A2A1)…Р(АnА1…Аn-1) (теорема умножения).
Отсюда получаем Р(АB) = Р(А)Р(ВА)/Р(B), и далее формулу полной вероятности Р(В) = P(A1)P(BA1) + P(A2)P(BA2) +…+ P(Аn)P(BАn),
где А1+А2+…+ Аn = Ω и В — произвольная совокупность исходов, и формулу Байеса:
Введение вектора α = {α1}, где αi =Υрi, позволяет вместо некоторой аддитивной меры, рассматривать метрический вектор единичной длины в евклидовом пространстве. В этом случае вся изложенная выше теория может быть переформулирована в терминах амплитуды вероятности.
Каждому множеству А из ξ(Ω) может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Аp(А). Это число называется амплитудой вероятности реализации совокупности исходов А. Оно определяется как корень квадратный из суммы квадратов амплитуд вероятности элементарных исходов, входящих в А:
где ik — номера элементарных исходов, входящих в совокупность Аj. Ар(Ω) = 1. Если А и B не пересекаются, то [Ap(A+B)]2 =[Ар(А)]2 + [Ар(В)]2.
Каждому множеству Аj, состоящему из mj элементарных исходов бифуркационного события, соответствует некоторый mj-мерный евклидов вектор Ар(Аj) = {ajk} k = 1,…,mj, модуль которого равняется
При этом разложение множества Аj на сумму взаимно не пересекающихся множеств эквивалентно разложению вектора
на сумму взаимно ортогональных векторов, каждый из которых имеет координаты, равные амплитудам элементарных событий, входящим в множество, которое он характеризует, еj — орт координаты, характеризующей i-й элементарный возможный исход бифуркационного события.
Формула Байеса переписывается в терминах амплитуды вероятностей следующим образом:
3. Случайные величины и их связь с параметром целого. Комплексный волновой вектор
Пусть дана однозначная функция s(ω) исхода бифуркационного события ω. Тогда функция Рs, определённая формулой Рs(А) = Р{s-1(A)}называется вероятностной функцией s, а функция АРs амплитудой вероятностной функции s.
Функция Fs (S) = Рs (-бесконечность, S) = Р {s(ω) < S} называется функцией распределения случайной величины s.
Если свойства состояний системы являются периодическими функциями от s, с периодом h, то назовём величину s действием и вместо величины s введём спиральную переменную, путём отображения прямой линии s на цилиндрическую круговую спираль с основанием цилиндра единичного радиуса.
Точка на этой спирали может быть описана спиральным комплексным числом с единичным модулем e2ms/h. Проекцией каждого такого числа на комплексную плоскость является точка на окружности единичного радиуса, описываемая алгебраическим комплексным числом e iθ.
Как величина действия s. так и величина периода действия h, могут быть приняты в качестве параметра целого при исследовании системы на ранних стадиях.
Следующим шагом в анализе бифуркационного события является введение в рассмотрение, по аналогии с действительным вектором вероятности, комплексного волнового вектора Ψ.
Рассмотрим первоначально компоненты этого вектора. Каждому элементарному исходу бифуркационного события (каждому элементу ωi) сопоставим единичный вектор ej направленный вдоль оси абсцисс комплексной плоскости zi.. В этом случае можно ввести собственный волновой вектор данного исхода бифуркационного события
принимающий значения в любой точке единичного круга комплексной области zi, включая его центр (в случае невозможности данного исхода) и окружность единичного радиуса (в случае неотвратимости наступления события). Наряду с этим вводим единичный комплексный собственный вектор.
Сумма комплексных волновых векторов для всего конечного множества возможных исходов формирует полный волновой вектор бифуркационного события, или волновой вектор возможных состояний системы.
4. Энтропия будущего и информация о прошлом бифуркационного события
В синергетической методологии существенную роль играют логарифмы вероятностей исходов бифуркационного события, совокупность которых для данной системы можно представить в виде собственных чисел некоторого оператора, названного нами оператором энтропии.
Осреднение собственных чисел оператора энтропии по всему пространству возможных исходов бифуркационного события позволяет получить некоторое число, которое может быть названо энтропией будущего этого события.
Это число даёт общее представление о степени неопределённости исходов бифуркационного событии и является важной характеристикой исследуемой системы.
Однако, величина энтропии зависит от нашего произвола в выборе вариантов элементарных исходов события, особенно в случае, если пространство возможных исходов представляет собой континуум. Поэтому этот параметр должен быть использован достаточно осторожно.
Более разумно принять несколько вариантов разбиений пространства возможных исходов события.
Для каждого варианта разбиения можно подсчитать своё значение энтропии и максимальное её значение, соответствующее равномерному распределению вероятностей различных вариантов исходов.
Различие между полученным значением энтропии для данной системы и максимальным её значением при данном числе разбиений характеризует доступную нам информацию о возможном поведении системы.
В качестве пространства разбиений для системы, поведение которой нельзя считать детерминированным, можно на первом этапе исследований принять область значений параметра целого. Если поведение системы с некоторым приближением можно считать детерминированным, то энтропия события, в котором участвует система, может быть принята равной нулю, и мы можем вернуться к исследованию объекта как детерминированной динамической системы.
При вычислении энтропии бифуркационного события необходимо рассматривать несколько возможных вариантов.
Первый вариант соответствует наличию дискретного набора возможных состояний системы после совершения события. Если вероятности каждого из вариантов заданы или определены эмпирически, то энтропия события определяется однозначно.
В случае, если возможные исходы бифуркационного события до его свершения составляют континуум и плотность вероятности является гладкой функцией от меры, такой подход невозможен, так как величина энтропии зависит от числа разбиений континуального множества и стремится к бесконечности при увеличении числа элементов разбиения. Однако в этом случае энтропия события может быть представлена в виде двух составляющих, одна из которых стремится к бесконечности, сохраняя универсальный закон зависимости от числа разбиений, а другая в пределе не зависит от числа разбиений, а лишь от формы кривой распределения плотности вероятности по пространству возможных состояний. Эту последнюю часть и можно принять за энтропию события в этом случае.
После свершения бифуркационного события система оказывается в некотором определённом состоянии. Её энтропия обращается в нуль. А наблюдатель получает количество информации, равное энтропии события до его свершения.
5. Граф структур и событий. Бифуркационная координата. Переходные матрицы и дифференциальные уравнения
У исследуемой системы можно выделить два характерных типа поведения.
Периоды сравнительно плавных изменений, когда система может быть приближённо описана как детерминированная и для её описания пригодны методы теории динамических систем (русла в терминологии Г.Г.Малинецкого). Этим периодам соответствуют рёбра графа структур и событий.
Периоды резких бифуркационных изменений — бифуркационные события — (джокеры в терминологии Г. Г. Малинецкого), в результате которых система может оказаться не в одном детерминированном, а с различной степенью вероятности в каждом из спектра возможных состояний, выбор одного из которых заранее не предрешён.
