Группа = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + … + b m x m ,
где a – константа, и b1, ..., bm – коэффициенты регрессии. Интерпретация результатов задачи с двумя совокупностями следует логике применения множественной регрессии: переменные с наибольшими регрессионными коэффициентами вносят наибольший вклад в дискриминацию.
Главными целями факторного анализа являются сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных. Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных, или как метод классификации (Wherry, 1984). Факторный анализ рассматривается как метод редукции данных. Например, измерение роста людей в дюймах и сантиметрах: имеются две переменные. Если исследовать, например, влияние различных пищевых добавок на рост, нужно ли использовать обе переменные? Вероятно, нет, так как рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется. Итак, фактически сократили число переменных и заменили две одной. Если пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.
Факторный анализ как метод классификации включает как анализ главных компонентов, так и анализ главных факторов. Чтобы проиллюстрировать, каким образом это может быть сделано, производятся действия в обратном порядке, т. е. начинают с некоторой осмысленной структуры, а затем смотрят, как она отражается на результатах. Действительные значения факторов можно оценить для отдельных наблюдений путем выделения главных факторов. На языке факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам, называется общностью. Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Доля дисперсии, за которую отвечает каждый пункт, равна тогда суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность.
Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных. Анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.
Для определения того, к какой группе наиболее вероятно может быть отнесен каждый объект, предназначены функции классификации, их выделяется столько же, сколько требуется групп по общим признакам. Каждая функция позволяет для каждого образца и для каждой совокупности вычислить веса классификации по формуле:
Si= ci+ wi1 · x1+wi2 · x2+ ... + wim · xm,
где Si – результат показателя классификации; обозначает соответствующую совокупность, а индексы 1, 2, ..., m обозначают m переменных; ci – константы для i – й совокупности, wij – веса для j – й переменной при вычислении показателя классификации для i – й совокупности; Xj – наблюдаемое значение для соответствующего образца j – й переменной. Можно использовать функции классификации для прямого вычисления показателя классификации для всех значений переменных. Расчет показателей классификации позволяет производить классификацию наблюдений.
На практике исследователю необходимо задать себе вопрос, является ли неодинаковое число наблюдений в различных совокупностях в первоначальной выборке отражением истинного распределения или это только (случайный) результат процедуры выбора. В первом случае используются априорные вероятности пропорционально объемам совокупностей в выборке; во втором – априорные вероятности одинаковы для каждой совокупности. Спецификация различных априорных вероятностей может сильно влиять на точность классификации. Для увеличения точности классификаций используются апостериорные вероятности – это вероятности, вычисленные с использованием знания значений других переменных для образцов из частной совокупности. В последнее время созданы программные пакеты, автоматически вычисляющие апостериорные вероятности для различных видов наблюдений. Общим результатом является матрица классификации.
При повторной итерации апостериорная классификация того, что случилось в прошлом, не очень трудна. Нетрудно получить очень хорошую классификацию тех образцов, по которым была оценена функция классификации. Для получения сведений, насколько хорошо работает процедура классификации на самом деле, следует классифицировать (априорно) различные наблюдения, которые не использовались при оценке функции классификации, гибко использовать условия отбора для включения их в число наблюдений или, напротив, исключения. Матрица классификации может быть вычислена по старым образцам столь же успешно, как и по новым. Но только классификация новых наблюдений позволяет определить качество функции классификации, классификация старых наблюдений позволяет лишь провести успешную диагностику наличия выбросов или области, где функция классификации кажется менее адекватной.
Дискриминантный, дисперсионный и факторный анализ являются полезными инструментами для выделения переменных, позволяющих относить наблюдаемые объекты в одну или несколько реально наблюдаемых групп, а также для классификации наблюдений по группам и детального анализа состояния и качества объектов, проведения мониторинговых исследований.
Математический аппарат, используемый для обработки результатов ЕГЭ
(из проекта Типового положения о РЦОИ Псковской области)
1. Среднее арифметическое (простое):
где n – число наблюдений; xi1, xi2, ..., xm – значения переменных.
2. Среднее арифметическое (взвешенное):
где xi1, xi2, ..., xn – значения переменных; n1,n2, ..., nk – веса переменных.
3. Мода:
где x0 – нижняя граница модального интервала; h – величина интервала; fm –1 – частота интервала, предшествующего модальному; fm+1 – частота интервала, следующего за модальным.
4. Среднее абсолютное (линейное) отклонение:
5. Эмпирическая дисперсия:
6. Стандартное (среднеквадратическое) отклонение:
7. Коэффициент вариации Пирсона:
8. Коэффициент ассимиляции:
9. Размах (range):
Rx = xmax − xmin ,
где xmax – наибольшее значение наблюдаемого признака; xmin наименьшее значение наблюдаемого признака.
10. Коэффициент корреляции Пирсона:
где σx – стандартное отклонение по х; σy – стандартное отклонение по у.
11. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
где n – число случаев; Ai− Bi – разность между индивидуальными рангами по х и у.
12. Стандартная ошибка измерения:
гдеσx – стандартное отклонение; кн – коэффициент надежности.
13. Точечно–бисериальный коэффициент корреляции:
14. Коэффициент корреляции Пирсона тестовых заданий с номерами i и j :
где pij – доля тестируемых, вытолнивших верно i – е и j – е задания; pi – доля тестируемых, выполнивших верно i – е задание, qi= 1—pi ; pj – доля тестируемых, выполнивших верно j–е задание, qj = 1 – pj.
15. Коэффициент надежности:
а) коэффициент Спирмена—Брауна (метод расщепления):
где rx – коэффициент корреляции двух частей теста;
б) коэффициент Рюлона:
где σ2∆ – дисперсия разностей результатов по каждой из двух частей теста; σ2x – дисперсия результатов теста;
