Обратите внимание, что эти два списка в конечном итоге должны содержать все чётные и все нечётные числа. Кроме того, они в точности совпадут поэлементно, на основании чего Кантор пришёл к выводу, что количество чётных чисел равно количеству нечётных, несмотря на то что оба множества бесконечны.
А что можно сказать про общее количество натуральных чисел? На первый взгляд кажется, что общее количество натуральных чисел вдвое больше, чем количество чётных. Но Кантор категорически не согласился с таким выводом. Множество чётных чисел может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел.
Согласно математической теории бесконечных чисел, которую построил Кантор, количество чётных чисел является точно таким же, как и количество всех натуральных чисел! Более того, множество чисел, кратных 10, – 10, 20, 30, 40 и т. д. – это бесконечное множество точно такого же размера, как и множество натуральных чисел. Натуральные числа, чётные или нечётные числа, числа, которые делятся на десять, – это всё примеры того, что математики называют бесконечными счётными множествами,[112] и все они имеют один и тот же размер.
Давайте проведём с бесконечными числами мысленный эксперимент. Представьте себе бесконечный мешок, в котором лежат все натуральные числа, записанные на клочках бумаги. Сначала тщательно потрясём мешок, чтобы все бумажки как следует перемешались. Теперь засунем в него руку и вытащим одну бумажку. Какова вероятность того, что записанное на бумажке число будет чётным?
Напрашивающийся ответ: 50 процентов. Поскольку половина чисел в мешке чётные, то и вероятность вытащить чётное число должна быть равна одной второй. Но мы не можем проделать такой эксперимент в реальном мире, потому что никто не может сделать бесконечный мешок для натуральных чисел. Для проверки теории мы можем прибегнуть к небольшой хитрости и использовать конечный мешок, содержащий, скажем, первую тысячу натуральных чисел. Если мы повторим эксперимент много раз, то обнаружим, что вероятность вытянуть чётное число действительно близка к одной второй. Затем мы можем провести этот же эксперимент с мешком, в котором находятся первые десять тысяч натуральных чисел. И опять мы обнаружим, что вероятность вытащить чётное число равна одной второй. Проводя эксперимент с первыми 100 000 натуральных чисел, с первым миллионом натуральных чисел, с первым миллиардом и т. д., мы каждый раз будем получать вероятность, равную одной второй. Разумно экстраполировать результат нашего эксперимента на бесконечное количество натуральных чисел и предположить, что вероятность по-прежнему останется равной одной второй.
Но погодите. Мы можем изменить содержимое мешка следующим образом. Положим в первом эксперименте в мешок одну тысячу первых чётных чисел и две тысячи первых нечётных. Теперь нечётных чисел в мешке вдвое больше, чем чётных, и вероятность вытащить чётное число равна одной третьей. Повторим эксперимент с первыми 10 000 чётных и первыми 20 000 нечётных чисел и снова получим вероятность, равную одной третьей. Как и в предыдущем эксперименте, мы можем экстраполировать этот результат на бесконечное количество чисел и прийти к выводу, что искомая вероятность равна одной третьей. На самом деле, изменяя условия эксперимента, мы можем получить любое значение вероятности.
Вечно раздувающаяся Вселенная – это бесконечный мешок, только наполненный не клочками бумажек с числами, а карманными вселенными. Это мешок, в котором любой наперёд заданный вариант вселенной – любая долина Ландшафта – содержится бесконечно счётное количество раз. Не существует очевидного математического способа сравнить количество экземпляров одного вида карманной вселенной с количеством другого и объявить, что один вариант является более вероятным, чем другой. Следствие из этого факта представляется очень тревожным: похоже, что нет способа определить относительную распространённость различных антропно-приемлемых вакуумов.
Проблема меры (мерой в космологии называется относительная частота встречаемости различных вакуумов) сильно беспокоит многих великих космологов, в частности Виленкина и Линде. Она может оказаться ахиллесовой пятой вечной инфляции. С одной стороны, очень трудно понять, как избежать вечной инфляции в какой-нибудь теории, содержащей интересный ландшафт. С другой стороны, не менее трудно понять, как использовать получившуюся теорию для предсказания чего бы то ни было в традиционном научном смысле.
В прошлом физика уже сталкивалась с многочисленными проблемами, связанными с бесконечными числами: с ультрафиолетовой катастрофой, успешно предотвращённой Максом Планком, или с расходимостями в первых вариантах квантовой теории поля. Даже проблемы чёрных дыр, из-за которых спорили Хокинг и ‘т Хоофт, тоже связаны с бесконечностью. Согласно расчётам Хокинга, горизонт чёрной дыры способен безвозвратно поглотить бесконечное количество информации. Всё это были глубокие проблемы трансфинитных или бесконечных чисел. И в каждом случае приходилось находить новые физические принципы, прежде чем мог быть достигнут какой-либо прогресс. В случае Планка это была квантовая механика, а именно открытие Эйнштейном того, что свет состоит из квантов. Бесконечные числа, досаждавшие квантовой теории поля, были побеждены только после открытия Кеннетом Вильсоном принципа перенормировки. История с чёрными дырами продолжается до сих пор, но контуры решения задачи уже намечены в виде голографического принципа. В каждом случае оказывалось, что классические методы расчёта завышали количество степеней свободы, которыми описывается мир.
Я считаю, что проблема меры также потребует новых крупных идей, прежде чем мы сможем понять, как делать предсказания относительно Ландшафта. Если бы меня попросили сделать какие-либо предположения, я бы сказал, что тут должно иметь место что-то типа голографического принципа и что информация, находящаяся за границами нашего горизонта, содержится в реликтовом излучении в нашем собственном кармане. Но если бы я был противником населённого ландшафта, я бы избрал целью моей атаки именно эту концептуальную проблему вечной инфляции.
Помимо проблемы меры имеются ещё и очень серьёзные проблемы, связанные с практическими трудностями в получении предсказаний, которые можно было бы проверить путём эксперимента или наблюдений. Но я думаю, что тут ситуация далеко не безнадёжна. Существует несколько предсказаний, которые могут быть проверены в ближайшем будущем.
В главе 5 я объяснил, как на раннем этапе существования Вселенной (который наблюдается в виде реликтового излучения) на финальной стадии инфляции, которая завершала падение с обрыва в нашу долину, была достигнута чрезвычайно высокая однородность распределения вещества. Оставшиеся едва заметные неоднородности стали теми семенами, из которых выросли галактики. Мы наблюдаем комковатую структуру распределения вещества во Вселенной на всех масштабах, от крошечных космических пылинок до занимающих почти полнеба гигантских образований. Космические комки и возмущения, которые мы наблюдаем сейчас, являются ископаемыми остатками различных эпох. Важно помнить о простом правиле: чем больше масштаб неоднородности, тем от более ранней эпохи она осталась.
Если нам очень, очень повезло, то, возможно, самая крупная из наблюдаемых неоднородностей в распределении реликтового излучения несёт информацию о состоянии Вселенной непосредственно перед началом инфляционной фазы, иными словами, о том моменте, когда Вселенная зависла над инфляционным обрывом. Если это так, то самая крупная неоднородность должна быть чуть менее комковатой, чем более мелкие неоднородности, которые возникли, когда инфляция уже продолжалась какое-то время. И похоже, что действительно есть наблюдательные данные, свидетельствующие, что наиболее крупные неоднородности являются более гладкими, чем остальные. Будет совсем смело предположить, что эти самые крупномасштабные неоднородности могут нести информацию о формировании нашего пузыря в эпоху с большей, чем сейчас, космологической постоянной.
Если же нам повезло настолько, что инфляция не продолжалась слишком долго, чтобы уничтожить доказательства первоначальной кривизны пространства, то наш пузырь должен нести следы той эпохи. Если наша карманная вселенная родилась в процессе пузырьковой нуклеации, то её кривизна должна быть отрицательной – сумма углов космического треугольника всегда должна быть 180 градусов.
На сегодняшнем уровне точности наших наблюдений нам пока не удаётся найти никаких свидетельств отрицательной кривизны нашей Вселенной. С одной стороны, если инфляционная фаза продолжалась очень долго, то мы и не обнаружим никакой отрицательной кривизны. Но с другой стороны, если мы обнаружим отрицательную кривизну, то это будет неоспоримым доказательством того, что наша Вселенная родилась в форме крошечного пузырька в вакууме с большей, чем нынешняя, космологической постоянной.
