Говоря как математик, а я полагаю, что только так и могу говорить (с любой властью), я могу сказать, что полного понимания пространства Калаби-Яу пока не существует. И у меня есть сомнения в том, сможем ли мы когда-нибудь узнать все, что нам необходимо знать о таких пространствах. Одна из причин моего скептицизма связана с тем фактом, что одномерное Калаби-Яу называется эллиптической кривой, а эти кривые, представляющие собой решения кубического уравнения, в котором по крайней мере некоторые члены возведены в третью степень, являются загадочными объектами в математике. Кубические уравнения очаровывают математиков на протяжении веков. Хотя уравнения имеют простую форму (например, y2 = x3 + ах + b), знакомую каждому из курса алгебры старших классов школы, их решения скрывают в себе много глубоких тайн, которые могут завести практиков в отдаленные уголки математики. Знаменитое доказательство великой теоремы Ферма Эндрю Уайлса, например, вращается вокруг понимания эллиптических кривых. Однако несмотря на блестящую работу Уайлса, существует много нерешенных проблем, связанных с такими кривыми и, что эквивалентно, с одномерными Калаби-Яу, для которых пока не видно решения в поле зрения.
У нас есть основания полагать, что обобщения эллиптических кривых на более высокие размерности, из которых трехмерное пространство Калаби-Яу представляет собой только один из вариантов, можно использовать для решения серьезных загадок в математике, поскольку мы часто узнаем что-то новое, помещая особые случаи, такие как эллиптические кривые, в более общие, многомерные (любой размерности) пространства. На этом фронте изучение двухмерных пространств Калаби-Яу, то есть комплексных поверхностей K3, уже помогло ответить на некоторые вопросы теории чисел.
Но эта работа только начинается, и мы понятия не имеем, куда она нас заведет. На данном этапе было бы справедливым сказать, что мы едва поцарапали поверхность, неважно, является ли она поверхностью K3 или другой разновидностью Калаби-Яу. Вот почему я считаю, что глубокое понимание этих пространств может оказаться невозможным, пока мы не поймем значительную часть математики, которая охватывает геометрию, теорию чисел и анализ.
Кто-то может считать это плохой новостью, но я вижу в этом только хорошее. Это означает, что многообразия Калаби-Яу, как и сама математика, совершенствуются, идя дорогой, которая, несомненно, имеет много изгибов и поворотов. Это значит, что впереди еще много нового, что нам предстоит узнать и сделать. И тем из нас, кто боится остаться без работы, без любимого занятия и даже без научных сюрпризов, не о чем беспокоиться: в ближайшие годы такой проблемы не возникнет.
Послесловие
Вхождение в святая святых
Давайте закончим там, где мы начинали, глядя в прошлое с надеждой собрать подсказки о дороге, которая ждет нас впереди. В 387 году до нашей эры или около того, в оливковой роще в северных пригородах Афин Платон основал свою Академию, которую иногда называют первым крупным университетом в мире. Основанная им Академия просуществовала более 900 лет, вплоть до римского императора Юстиниана, который закрыл ее в 526 году нашей эры — срок жизни моей Гарвардской школы — 370 лет — кажется ничтожным в сравнении со школой Платона. По преданию, Платон поместил надпись над входом в школу, которая гласит: Да не войдет сюда не знающий геометрии.
Точная формулировка ставится под сомнение, так как я видел разные варианты этой надписи. Некоторые эксперты вообще отрицают ее существование: Пирс Бёрсилл-Холл, специалист по греческой математике в Кембриджском университете, предполагает, что надпись можно было легко прочитать и так: «Не парковаться перед этими воротами».[305] Однако у нас мало оснований критически относиться к надписи. «Такое утверждение было высказано одним из древних авторитетов, и нет причин думать, что оно недостоверно, — утверждает Дональд Зейл, специалист по Платону из Университета Род-Айленда. — Это имеет смысл для меня, учитывая, что Платон считал геометрию необходимой предпосылкой к изучению философии».[306]
Я, конечно, не являюсь ни историком, ни специалистом по классической науке и поэтому не могу быть судьей в этом споре. Однако учитывая то немногое, что я знаю о Платоне, и гораздо большее, что я знаю о геометрии, я склонен принять сторону Зейла в этом вопросе, хотя бы по той причине, что, несмотря на 2400 лет или около того, что отделяют Платона от меня, мы одинаково смотрим на важность геометрии. Платон считал истины геометрии вечными и неизменными, в то время как знание, являющееся результатом эмпирической науки, более эфемерным по своей природе и неизбежно подвергаемым пересмотру. Я искренне согласен с его рассуждениями: геометрия может увести нас далеко в сторону при объяснении Вселенной на больших и малых масштабах, хотя, возможно, не до планковской шкалы, но когда мы доказываем что-то строгими математическими методами, то можем быть уверены, что оно выдержит испытание временем. Геометрические доказательства, как бриллианты, рекламируемые по телевизору, — вечны.
Хотя сведения о «теории всего» Платона, изложенные в диалогах «Тимей», поражают наших современников как абсурдные (если не на грани психического расстройства), существует много параллелей между картиной Вселенной Платона и картиной Вселенной теории струн. Геометризация — идея, что физика, которую мы наблюдаем, вытекает непосредственно из геометрии, — стоит на фундаменте обоих подходов. Платон использовал многогранники, названные в его честь Платоновыми телами, преследуя собственные цели (неудачно, я мог бы добавить), во многом точно так же, как теория струн опирается на многообразия Калаби-Яу, хотя мы надеемся, что результаты на этот раз будут лучше.
Платоновы тела в буквальном смысле построены на симметрии, как и современные теории в физике. В конце концов, поиски единой всеобъемлющей теории природы, по сути, сводятся к поиску симметрии Вселенной. Отдельные компоненты этой всеобъемлющей теории имеют свои собственные симметрии, такие как внутренняя симметрия калибровочных полей, которые дают нам лучшие современные описания электромагнитных, сильных и слабых взаимодействий. Более того, группы симметрии в этих построениях действительно связаны с симметрией Платоновых тел, хотя и не таким способом, как это представляли древние греки.
Сегодняшняя физика строится на дуальностях — идеях, заключающихся в том, что один и тот же физический мир можно описать двумя математически разными способами. Эти дуальности связывают четырехмерные квантовые теории поля с десятимерными теориями струн, десятимерную теорию струн с 11-мерной М-теорией и даже обнаруживают физическую эквивалентность между двумя многообразиями Калаби-Яу, которые на первый взгляд не имеют ничего общего. Более того, Платоновы тела имеют свои собственные дуальности: куб и октаэдр, например, образуют дуальную пару, потому что каждый из них может быть повернут двадцатью четырьмя разными способами и после поворота совпасть сам с собой. Икосаэдр и додекаэдр принадлежат к более крупной группе симметрии, будучи инвариантными относительно шестидесяти различных вариантов поворота. Тетраэдр, между тем, дуален сам себе. Любопытно, что когда мой коллега, математик Питер Кронхаймер, чей кабинет находится через несколько дверей по коридору от моего, пытался классифицировать группу из четырехмерных многообразий Калаби-Яу по симметрии, он обнаружил, что они следуют той же схеме классификации, что и Платоновы тела.
Я никоим образом не пытаюсь утверждать, что Платон, распространявший свои идеи на заре становления математики, всегда был прав. Напротив, его представления о происхождении элементов являются неверными. Точно так же попытки астронома Иоганна Кеплера объяснить орбиты планет Солнечной системы с помощью вложенных Платоновых тел, лежащих внутри концентрических сфер, также были обречены на провал. Детали в этих сценариях не складываются, и они даже не приближаются к истине. Но с точки зрения общей картины Платон во многом был на верном пути, определив некоторые из ключевых элементов головоломки, такие как симметрия, дуальность и общий принцип геометризации, которые, как мы сейчас полагаем, должны быть включены в любые реальные попытки объяснить картину мира.
В связи с этим мне кажется правдоподобным, что Платон отдал должное геометрии в надписи перед входом в его знаменитую Академию. Подобно тому как я разделяю его уважение к дисциплине, которую я выбрал много лет спустя, если бы я устанавливал вывеску над дверью моего явно не пользующегося известностью в Гарварде офиса, я бы изменил формулировку следующим образом: Да не останется здесь не знающий геометрии. Те же слова, я надеюсь, можно адресовать и читателям, сейчас «оставляющим» страницы этого небольшого тома и, надеюсь, смотрящим теперь на мир другими глазами.
