Все вышесказанное звучит несколько механистически, но в этом есть определенный смысл, поскольку с помощью позиционной системы счисления можно запрограммировать вычислительную машину на выполнение любых арифметических действий. От первых механических калькуляторов до сегодняшних современных суперкомпьютеров автоматизация арифметических вычислений стала возможной благодаря красивой идее определения значения числового разряда путем его местоположения.
Однако до сих пор невоспетым героем истории остается цифра ноль. Без него все рухнет. Это символ-заполнитель, который позволяет нам отличать числа 1, 10 и 100 друг от друга.
Все позиционные системы счисления построены на некоем числе, называемом основание системы. Наша привычная система счисления десятичная (от латинского корня decem, означающего «десять»), то есть основана на числе 10. В ней после первого разряда, представляющего единицы, следующие разряды представляют десятки, сотни, тысячи и т. д., каждый из которых является степенью 10:
10 = 101
100 = 10 × 10 = 102
1000 = 10 × 10 × 10 = 103.
Учитывая тот факт, что выбор числа 10 для системы счисления имеет анатомическую, а не логическую основу, естественным было бы спросить, а нет ли более эффективных систем счисления с другими основаниями? Веские аргументы можно представить в пользу системы счисления с основанием 2 — теперь уже повсеместно распространенной двоичной системы, используемой в компьютерах и всех электронных (цифровых) устройствах, начиная от мобильных телефонов и заканчивая видеокамерами. Из всех возможных систем счисления эта требует наименьшего количества символов (только два, 0 и 1). Это ее свойство прекрасно соотносится с логикой электронных переключателей или чего-то еще, что может находиться в двух состояниях: включено или выключено, открыто или закрыто.
Двоичная система нуждается в некотором пояснении. Вместо степеней 10 в ней используются степени 2. Две единицы по-прежнему занимают 1-й разряд, как и в десятичной системе, но следующие разряды теперь занимают двойки, четверки и восьмерки, потому что
2 = 21
4 = 2 × 2 = 22
8 = 2 × 2 × 2 = 23.
Конечно, при записи числа в двоичной системе счисления мы не используем цифру 2, так же как и «цифру» 10 при записи чисел в десятичной системе счисления. В двоичной системе 2 записывается как 10 (один и ноль), а это означает одну двойку и ноль единиц. Аналогично этому 4 можно записать как 100 (одна четверка, ноль двоек и ноль единиц), а 8 — как 1000.
Последствия использования двоичной системы счисления выходят далеко за пределы математики. Степень двойки изменила наш мир. В последние несколько десятилетий мы пришли к пониманию, что вся информация (а это не только числа, но и язык, и все изображения, и звуки) может быть закодирована в виде последовательности нулей и единиц.
Что возвращает нас к памятнику Эзры Корнелла.
С задней стороны сооружения почти полностью скрыт от зрителя телеграфный аппарат, скромно напоминающий о роли Эзры Корнелла в создании Western Union — американской компании, сегодня специализирующейся на срочных денежных переводах, а некогда связавшей воедино весь североамериканский континент.
В качестве плотника, превратившегося в предпринимателя, Корнелл начал работать у Сэмюэля Морзе, чье имя живет в коде точек и тире, благодаря чему английский язык сократился до щелчков телеграфного ключа. Эти два события стали технологическими предшественниками сегодняшних нулей и единиц.
Морзе поручил Корнеллу построить первую правительственную телеграфную линию от Балтимора до Капитолия в Вашингтоне. Он, по-видимому, с самого начала предчувствовал, что принесут ему точки и тире. Когда 24 мая 1844 года линия была официально открыта, Морзе отправил по ней первое сообщение: «Чудны дела Твои, Господи!»
7. Получая радость от Х
Итак, пора переходить от арифметики начальной школы к математике средних классов. На протяжении следующих десяти глав мы будем повторять алгебру, геометрию и тригонометрию. Не волнуйтесь, если вы их забыли, — на этот раз не будет никаких экзаменов. Вместо того чтобы беспокоиться о формальной стороне изучения алгебры и геометрии, позволим себе сосредоточиться на самых красивых, важных и далеко идущих идеях этих разделов математики. Например, алгебра может поразить вас головокружительным сочетанием символов, определений и методов, но, в конце концов, все это сведется лишь к двум вещам: нахождению решений x и работе с уравнениями.
Первое похоже на работу детектива. Вы ищете неизвестное число х, при этом вам дается несколько подсказок либо в виде уравнения наподобие 2x + 3 = 7, либо, что менее удобно, в виде запутанного словесного портрета x, то есть словесного описания задачи. В любом случае ваша цель — найти на основании полученных данных значение х.
Напротив, работа с уравнениями представляет собой смесь искусства и науки. Вместо того чтобы остановиться на конкретном значении х, вы подтасовываете и уплотняете соотношения, которые по-прежнему содержат изменяющиеся числа; они называются переменными и как раз и являются тем, что действительно отличает алгебру от арифметики. А уравнения, если можно так выразиться, — просто изящные модели самих чисел. Именно в них алгебра сродни искусству. Можно также сказать, что формулы выражают соотношения между числами в реальном мире, как это происходит в законах движения свободно падающих тел и характеристиках планетарных орбит либо у частот генотипов в популяции. Вот здесь алгебра сродни науке.
Такое определение двух основных функций алгебры не считается общепринятым (оно придумано мной и, как мне кажется, довольно правдиво). В следующей главе я больше расскажу о поиске решений x, а пока, чтобы пояснить мою мысль, сосредоточимся на уравнениях и формулах. Начнем с пары простых примеров.
Несколько лет назад моя дочь Джо поняла зависимость между числами, выражающими ее возраст и возраст ее старшей сестры Лии23. Она мне сказала: «Папа, смотри, всегда есть число между моим возрастом и возрастом Лии. Вот сейчас мне шесть лет, а Лии восемь, а семь находится посередине. И даже когда мы станем старше — мне исполнится двадцать, а ей двадцать два года, — посередине по-прежнему будет число!»
Рассуждения Джо — пример алгебраического подхода (хотя никто, кроме гордого отца, возможно, этого и не видит). Она подметила соотношение между двумя постоянно меняющимися переменными: своим возрастом, x, и возрастом Лии — y. Лия всегда будет на два года старше сестры: y = x + 2.
На языке алгебры такие задачи формулировать естественнее всего. Но потребуется небольшая практика, чтобы хорошо разобраться в этой науке, потому что существуют, как говорят французы, faux amis, то есть ложные друзья: пары слов, звучащие похоже и вроде бы означающие одно и то же, но на самом деле имеющие совершенно различные значения.
Предположим, что длина коридора равна y, если ее измерять в ярдах, и f, если мы ее измерим в футах. Составьте уравнение, описывающее отношение между y и f.
Мой друг Грант Виггинс, эксперт по вопросам образования, уже много лет предлагает такое задание студентам и университетским преподавателям. Основываясь на своем опыте, он утверждает, что студенты более чем в половине случаев выполняют его неправильно, даже если совсем недавно прошли и успешно сдали курс алгебры.
Если вы тоже думаете, что ответ — y = 3f, добро пожаловать в клуб неудачников.
Эта формула похожа на «дословный перевод» утверждения «Один ярд равняется трем футам» на язык алгебры. Но как только вы попробуете подставить в уравнение несколько чисел, то сразу увидите, что в нем все перевернуто с ног на голову. Скажем, коридор имеет длину 10 ярдов, то есть 30 футов. Тогда при y = 10 ярдам, понятно, что f = 30 футам, и тождество становится неверным.
Верное уравнение: f = 3y. И здесь 3 действительно означает, что в одном ярде 3 фута (то есть имеет размерность фут/ярд). Когда вы умножите 3 на переменную y в ярдах, то ярды в уравнении сократятся, и у вас останутся, как и должно быть, футы.
Проверка правильности формулы с помощью сокращения единиц измерения помогает избежать грубой ошибки такого типа. Например, она могла бы спасти сотрудников отдела обслуживания клиентов компании Verizon (см. пример в главе 5) от путаницы между долларами и центами.
Еще один вид формул называется тождеством. Когда на уроках алгебры вы раскладывали на множители или перемножали многочлены, вы работали с тождествами. Можете использовать их и теперь, чтобы произвести впечатление на друзей дешевыми трюками с числами. Вот один, который поразил физика Ричарда Фейнмана[8], хотя он сам неплохо считал устно.
