Кроме окружностей геометрия рассматривает и параллельные линии, которые никогда не пересекаются, и треугольники во всем их разнообразии, и квадраты, и прямоугольники, и другие фигуры.
Все они образованы линиями и имеют собственные свойства, все они строго определены, как и их пересечения и сочетания. Все доказывается с помощью описанных выше положений.
Например, с помощью свойств параллельных линий можно доказать, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам.
ГЕОМЕТРИЯ В ДЕЙСТВИИ
Параллельные линии не пересекаются. Из этого определения следует, что другая линия будет пересекать их под равными углами. Если бы эти углы не были равными, то параллельные линии сходились бы или расходились, и тогда они уже не были бы параллельными. Для обозначения углов мы используем греческие буквы, напоминающие нам об истоках геометрии. Здесь использованы три первые буквы греческого алфавита: альфа, бета и гамма, и на рисунке слева буквой α обозначены два равных угла.
На этом основании можно вычислить сумму углов треугольника. Треугольник ABC на рисунке справа заключен между двумя параллельными линиями; вообще, опираться на известное – это основной способ, каким в геометрии узнают неизвестное. Угол α у точки А равен углу α у точки В, поскольку это противоположные углы, образованные линией, пересекающей параллельные линии. Точно так же угол γ у точки С равен углу γ у точки В. Таким образом, вдоль верхней параллельной линии расположены три угла: α + β + γ. Вместе они образуют прямую линию, равную 180 градусам.
Итак, α + β + γ = 180 градусов. Как мы уже показали с помощью параллельных линий, сумма внутренних углов треугольника равна α + β + γ. Следовательно, сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.
Так мы использовали свойства параллельных линий для доказательства некоего свойства треугольников.
Геометрия – это не только простая, элегантная и логическая, но еще и красивая система. Но что значит «красивая»? Красивой ее находили греки, и это многое объясняет в их понимании мира. Греки занимались геометрией не только для гимнастики ума, как это мы делаем в школе, и не только в практических целях, таких как измерение площади поля или навигация. Они воспринимали геометрию как средство объяснения основополагающих законов мироздания. Если посмотреть на все, что нас окружает, можно поразиться удивительному разнообразию мира: самые разные формы самых разных цветов и размеров. На первый взгляд кажется, что одновременно происходит великое множество разных событий, причем бессистемно и хаотично. Греки же верили, что всему можно найти простое и логичное объяснение. В основе всего сущего должно лежать нечто простое, регулярное и логичное. Нечто вроде геометрии.
Греки не занимались наукой в том смысле, в каком ею занимаемся мы, то есть выдвигая гипотезы и ставя эксперименты. Они считали, что если напрячь ум и хорошенько подумать, то можно прийти к правильному ответу. Поэтому всю их науку можно назвать системой вдохновенных догадок. Один греческий философ сказал, что все в мире состоит из воды, и это показывает, насколько отчаянно греки стремились свести все к простому объяснению. Другой философ сказал, что все состоит из четырех элементов: земли, огня, воздуха и воды. Еще один философ говорил, что все состоит из мельчайших частиц, которые он назвал атомами – и, как выяснилось впоследствии, оказался прав. Он высказал вдохновенную догадку, к которой мы вернулись только в XX веке.
Когда лет четыреста назад, через две тысячи лет после древних греков, появилась наука в современном понимании, она начала ставить под сомнения главные постулаты древнегреческой мысли, пользовавшиеся до тех пор авторитетом. Но при этом она не отказалась от стремления древних греков находить простые, логические и математические объяснения. Ньютон, величайший ученый семнадцатого столетия, и Эйнштейн, величайший ученый двадцатого столетия, утверждали, что ближе всего к правде самые простые ответы. Оба они умели выражать свои теории в математических формулах, описывающих состояние и движение материи.
Древние греки часто ошибались в своих предположениях, причем довольно сильно. Их предположение, что в основе всего лежат логические и математические объяснения, тоже могло оказаться ошибкой, но оказалось правдой. Это величайшее наследие древних греков, которые они передали европейской цивилизации.
Можно ли объяснить, почему древние греки оказались настолько умными и проницательными? Вряд ли. Предполагается, что историки должны объяснять исторические факты, но когда дело доходит до самых общих фактов – например, почему именно в маленьких городах-государствах родились великие мыслители с таким логичным и проницательным умом – они не могут предложить убедительных объяснений. Историкам, как и всем остальным, остается только удивляться.
Вот вам еще одно чудо. Мы подходим ко второму элементу европейской смеси. Древние евреи верили в существовании только одного Бога. Для той эпохи это было необычное воззрение. Древние греки и римляне верили в существовании целого множества богов. Евреи к тому же считали, что один-единственный Бог заботится прежде всего именно о них и что они принадлежат к богоизбранному народу. В обмен на такую привилегию евреи были обязаны соблюдать закон Божий. В основу этого закона были положены десять заповедей, данных евреям Моисеем, который вывел их из египетского плена. Христиане сохранили эти десять заповедей, которые оставались главным моральным критерием западного общества вплоть до недавнего времени. До сих пор можно услышать, как о человеке говорят, что он, допустим, никогда не нарушит восьмой заповеди, но иногда нарушает седьмую.
Вот эти десять заповедей, как они перечислены в Библии, в главе 20 Книги Исход:
И изрек Бог все слова сии, говоря:
Я Господь, Бог твой, Который вывел тебя из земли Египетской, из дома рабства; да не будет у тебя других богов перед лицем Моим.
Не делай себе кумира и никакого изображения того, что на небе вверху, и что на земле внизу, и что в воде ниже земли. <...>
Не произноси имени Господа, Бога твоего, напрасно, ибо Господь не оставит без наказания того, кто произносит имя Его напрасно.
Помни день субботний, чтобы святить его.
Шесть дней работай, и делая всякие дела твои. <...>
Ибо в шесть дней создал Господь небо и землю, море и все, что в них; а в день седьмый почил. Посему благословил Господь день субботний и освятил его.
Почитай отца твоего и мать твою, чтобы продлились дни твои на земле, которую Господь, Бог твой, дает тебе.
Не убивай.
Не прелюбодействуй.
Не кради.
Не произноси ложного свидетельства на ближнего твоего.
Не желай дома ближнего твоего; не желай жены ближнего твоего, ни раба его, ни рабыни его, ни вола его, ни осла его, ничего, что у ближнего твоего.
Эти десять заповедей были лишь первыми из огромного множества моральных предписаний. У евреев была очень сложная система законов и правил, которые касались не только областей, обычно регулируемых законами – преступлений, имущества, наследства, брака, – но также и питания, соблюдения чистоты, управления хозяйством и принесения жертв Богу в храме.
Хотя евреи и считали себя избранным народом, жизнь их была далека от идеальной. С ними часто случались различные бедствия; их завоевывали и брали в плен; но при этом они не только не сомневались в существовании Бога, но и в том, что он о них заботится. Каждый раз, как случалось какое-нибудь несчастье, они приходили к мысли, что это кара за то, что они разгневали Бога, не выполняя как следует его законы. Поэтому в иудаизме (еврейской религии), как и в христианстве мораль и религия тесно переплетены, что наблюдается далеко не всегда.
Боги греков и римлян не останавливались перед безнравственным поступком, они вступали в незаконные связи и плели друг против друга интриги. В римской религии боги тоже могли наказывать людей, но не потому, что те поступали безнравственно, а потому, что не приносили им жертвы как следует или приносили, но недостаточно часто.
Иисус, основатель христианства, был иудеем, и все его последователи тоже были иудеями. В то время, когда он проповедовал свое учение, иудеи сами не распоряжались своей страной; Палестина была провинцией Римской империи. Некоторые из последователей Иисуса надеялись, что он возглавит восстание против римлян. Противники Иисуса пытались заставить его открыто признаться в этом. «Должны ли мы платить подать римлянам?» – спрашивали они его. «Покажите мне монету», – говорил он. – «Чье это изображение?» «Кесарево», – отвечали они ему. «Отдавайте кесарево кесарю, а Божие Богу», – говорил Иисус.
Иисус очень хорошо знал иудейский Закон и предание иудеев; на них основывалось и его собственное учение. Отчасти оно подводило краткий итог всей этой идеологии и обращало внимание на ее главные положения. Вот одно из его заповедей: «Возлюби Господа, Бога твоего всем сердцем твоим <...> возлюби ближнего твоего как самого себя».
