Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критического значения его нижней границы, т. е. dнабл‹d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критического значения его верхней границы, т. е. dнабл>d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится между верхней и нижней критическими границами, т. е. d1< dнабл< d2, то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.
Если коэффициент автокорреляции является отрицательной величиной, то при проверке гипотез возможно возникновение следующих ситуаций.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона больше критической величины 4 – d1, т.е. dнабл>4 – d1, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии отклоняется
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона меньше критической величины 4 – d2, т. е. dнабл‹4 – d2, то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка между остатками модели регрессии принимается.
Если наблюдаемое значение критерия Дарбина-Уотсона находится в критическом интервале между величинами 4 – d1 и 4– d2, т.е. 4 – d1< dнабл<4 – d2, , то достаточных оснований для принятия единственно правильного решения нет, необходимы дополнительные исследования.
63. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии
В связи с тем, что наличие в модели регрессии автокорреляции между остатками модели может привести к негативным результатам всего процесса оценивания неизвестных коэффициентов модели, автокорреляция остатков должна быть устранена.
Устранить автокорреляцию остатков модели регрессии можно с помощью включения в модель автокорреляционного параметра, однако на практике данный подход реализовать весьма затруднительно, потому что оценка коэффициента автокорреляции является величиной заранее неизвестной.
Авторегрессионной схемой первого порядка называется метод устранения автокорреляции первого порядка между соседними членами остаточного ряда в линейных моделях регрессии либо моделях регрессии, которые можно привести к линейному виду.
На практике применение авторегрессионной схемы первого порядка требует априорного знания величины коэффициента автокорреляции. Однако в связи с тем, что величина данного коэффициента заранее неизвестна, в качестве его оценки рассчитывается выборочный коэффициент остатков первого порядка ρ1.
Выборочный коэффициент остатков первого порядка ρ1 рассчитывается по формуле:
В общем случае коэффициент автокорреляции порядка l рассчитывается по формуле:
где l – временной лаг;
T – число наблюдений;
t – момент времени, в который осуществлялось наблюдение;
– среднее значение исходного временного ряда.
Предположим, что на основе собранных наблюдений была построена линейная парная модель регрессии:
yt=β0+β1xt+εt.(1)
Рассмотрим применение авторегрессионной схемы первого порядка на примере данной модели.
Исходная линейная модель парной регрессии с учётом процесса автокорреляции остатков первого порядка в момент времени t может быть представлена в виде:
yt=β0+β1xt+ρεt-1+νt,.
εt=ρεt-1+νt,
где ρ – коэффициент автокорреляции, |ρ|<1;
νt – независимые, одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2(νt).
Модель регрессии в момент времени (t-1) может быть представлена виде:
yt-1=β0+β1xt-1+εt-1.(2)
Если модель регрессии в момент времени (t-1) умножить на величину коэффициента автокорреляции β и вычесть её из исходной модели регрессии в момент времени t, то в результате мы получим преобразованную модель регрессии, учитывающую процесс автокорреляции первого порядка:
Для более наглядного представления преобразованной модели воспользуемся методом замен:
Yt=yt–ρyt-1;
Xt=xt–ρxt-1;
Zt=1– ρ.
В результате преобразованная модель регрессии примет вид:
Yt= Zt* β0+β1 Xt+ νt. (4)
В преобразованной модели регрессии случайная ошибка βt не подвержена процессу автокорреляции, поэтому можно считать автокорреляционную зависимость остатков модели устранённой.
Авторегрессионную схему первого порядка можно применить ко всем строкам матрицы данных Х, кроме первого наблюдения. Однако если не вычислять Y1 и X1, то подобная потеря в небольшой выборке может привести к неэффективности оценок коэффициентов преобразованной модели регрессии. Данная проблема решается с помощью поправки Прайса-Уинстена. Введём следующие обозначения:
Тогда оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели регрессии (4) можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов:
Оценки коэффициентов исходной модели регрессии (1) определяются по формулам:
В результате оцененная модель регрессии будет иметь вид:
64. Методы Кохрана-Оркутта и Хилдрета-Лу оценки коэффициента автокорреляции
Помимо вычисления выборочного коэффициента автокорреляции остатков оценку автокорреляционного коэффициента β можно рассчитать методом Кохрана-Оркутта.
Предположим, что на основе собранных наблюдений была построена линейная парная модель регрессии:
yt=β0+β1xt+εt.(1)
Рассмотрим применение метода Кохрана-Оркутта оценки коэффициента автокорреляции на примере данной модели.
Осуществление метода Кохрана-Оркутта происходит в несколько этапов.
1) оценки неизвестных коэффициентов исходной модели регрессии определяются классическим методом наименьших квадратов. В результате мы получим оценённую модель регрессии вида:
2) на основании исходной (1) и оценённой (2) моделей регрессии рассчитываются остатки модели:
3) рассчитывается выборочный автокорреляционный коэффициент первого порядка по формуле:
С помощью данного коэффициента можно оценить авторегрессионную зависимость остатков:
4) строится преобразованная модель регрессии. Модель регрессии в момент времени (t-1) может быть представлена виде yt-1=β0+β1xt-1+εt-1.(3). Если модель регрессии в момент времени (t-1) умножить на величину коэффициента автокорреляции β и вычесть её из исходной модели регрессии в момент времени t, то в результате мы получим преобразованную модель регрессии, учитывающую процесс автокорреляции первого порядка:
Для более наглядного представления преобразованной модели воспользуемся методом замен:
Yt=yt–ρyt-1;
Xt=xt–ρxt-1;
Zt=1– ρ.
В результате преобразованная модель регрессии примет вид:
Yt= Zt* β0+β1 Xt+ νt. (5)
5) оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели регрессии рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов:
Далее рассчитываются оценки коэффициентов исходной модели регрессии по формулам:
В результате полученную модель регрессии можно представить в виде:
6) на заключительном этапе вновь вычисляются остатки et между исходной (1) и преобразованной оценённой (7) моделями регрессии, и процесс повторяется с третьего этапа.
Метод Кохрана-Оркутта является итеративным методом оценивания. Его основное отличие состоит в том, что процесс итеративного оценивания исходной модели регрессии сходится или останавливается при условии, если последнее вычисленное значение оценки коэффициента автокорреляции первого порядка ρ1 почти не отличается от своего предыдущего значения.
Другим методом вычисления оценки коэффициента автокорреляции является метод Хилдрета-Лу.
В этом случае коэффициент автокорреляции задаётся двумя параметрами: диапазоном и величиной шага. Например, коэффициента автокорреляции ρ1 заключается в пределах [-1;+1], и его значения вычисляются с шагом 0,02.
