Рис. 19. И-Цзин/Ло Шу
Игры с математикой квадрата Сатурна
Это самый маленький квадрат и хороший объект для демонстрации базовой информации, относящейся к функциям и терминологии. Данный квадрат является кладезем математических трюков, тем более забавных, что вам известно, сколь легко его создать.
Рис. 20. Квадрат Сатурна
Во-первых, будучи квадратом 3-го порядка, он имеет три клетки в длину, три клетки в высоту и содержит в себе числа от 1 до 9. Самое большое число в квадрате соответствует количеству имеющихся в нем клеток [101] (рис. 20, 21).
• Сумма чисел в каждой строке (А) равна 15, как и в каждой колонке (В).
• Сумма чисел по диагонали, как от верхнего левого до нижнего правого угла, так и от верхнего правого до нижнего левого (С), также равна 15.
Рис. 27.Математика квадрата Сатурна
• Если вы сложите вместе все числа в квадрате — 1+2+3+4+5+6+7+8+9 — сумма составит 45.
• Разделите 45 на порядок квадрата — 3 — и вы получите 15, результат, равный сумме любой строки, столбца и диагонали.
Но это еще не все.
• Сложите пару чисел, расположенных напротив друг друга. В среднем ряду это 3 + 7. В средней колонке это 9+1. Угловые диагональные пары — 4 + 6 и 2 + 8. Каждая пара в сумме дает 10.
• Теперь, обратите внимание на число 5 в центре квадрата, единственное число, оставшееся без пары. Удвойте его, сложив само с собой: 5 + 5. Сумма равна 10, что соответствует расположенным напротив друг друга парам. Это также будет верно и для большего квадрата нечетного порядка: найдите клетку в нулевой точке, удвойте число, находящееся в ней, а затем определите пары, которые дают такую же сумму.
Вернемся к истории. Ло Шу мигрировали из Китая или нечто подобное появилось где-то в других местах независимо?
Рис. 22. Розетка Сатурна
Рис. 23. Гадание по Ло Шу
И то, и другое. Майя был известен этот квадрат, как и северным африканцам и доисторическим французам [102]. Древние вавилоняне вписывали в этот квадрат восьмиконечную звезду Иштар, чтобы использовать его для определения направлений [103] (рис. 22). Один современный источник предлагает вариант использования квадрата прорицателями: нарисуйте сетку и числа в ней белым мелом на черной бумаге. Затем поместите хрустальный шар в центр, где обычно находится число 5 (рис. 23). Этот вариант квадрата известен как «Египетская фигура», так что, быть может, китайская черепаха имела пращуров, живших во времена фараонов [104]. Между тем, квадраты 4-го порядка были известны в Индии примерно с 550 года н. э., когда Варахамихира написал текст о предсказаниях под названием «Брихатсамхита». Некоторые из предложенных Варахамихирой квадратов 4-го порядка содержали в себе зашифрованные рецепты благовоний, тогда как другие назывались качапута, дословно «панцирь черепахи», что опять указывает на связь с черепахой Ло Шу [105].
Квадраты 5-го и 6-го порядков были известны в исламских странах к 983 году н. э. В тексте «Кабс аль-Анвар», написанном Надруни, примерно в 1384 году н. э., перечислены пары семи планет и квадратов, как показано на рисунке 24, в порядке, повторенном в 1498 году Пачоли в «De Viribus» [106] и Корнелиусом Агриппой в «De Occulta Philosophia» («Оккультной философии») в 1531 году. Эта последовательность известна как Халдейский порядок, и в ней сопоставляется размер каждого квадрата с соответствующим расстоянием от каждой планеты до Земли: чем дальше, тем меньше клеток, чем ближе, тем клеток больше.
Рис. 24. Халдейский порядок
С незапамятных времен люди знали, что Солнце находится ближе к Земле, чем Марс (кроме Великих Противостояний), Юпитер и Сатурн. Наблюдая за движением Луны, Меркурия и Венеры древние астрономы установили, что иногда каждая из этих планет проходила между Землей и Солнцем, а Меркурий и Венера периодически огибали его. С Луной такого никогда не случалось, что побудило наших предков прийти к логичному умозаключению, что она является ближайшей соседкой Земли. И наоборот, Марс, Юпитер и Сатурн никогда не оказывались между нами и нашей звездой, напротив, описывая круг, они периодически проходили позади Солнца, что и привело к убеждению, что данные планеты удалены от Земли на более далекое расстояние, чем Солнце. Ошибочно? Да, но едва ли безумно. Отсюда — «халдейский порядок», который до сих пор имеет сильное влияние на использование магических чисел на Западе. Традиция долгая, логики в ней немного, так что делайте собственные выводы о том, стоит ли использовать халдейский порядок и каким образом.
Не существует квадратов 2-го порядка: четырехклеточный квадрат не демонстрирует ничего удивительного при сложении чисел 1, 2, 3 и 4. Агриппа дал этому обстоятельству оригинальное объяснение: число 2 было проклято из-за действий первых двух людей, Адама и Евы, что сделало квадрат 2-го порядка невозможным. Другое его «доказательство» не уступало первому: он считал, что четыре элемента — Земля, Воздух, Огонь и Вода, соответствующие здесь числам от 1 до 4 — неадекватны. Агриппа описал и квадрат 1-го порядка — единственную клетку, содержащую число 1, которое он отождествлял с Богом [107]. Быть может, это странное обоснование и послужило причиной бездействия инквизиции по отношению к самому автору?
Волшебные и магические квадраты
Теперь самое время провести различие: есть два вида квадратов, которые можно условно назвать «волшебными» и «магическими».
Волшебные квадраты — это вид «развлекательной математики», что-то вроде кроссвордов для поклонников данной науки. Они называются «волшебными», поскольку позволяют жонглировать числами путем самых невероятных комбинаций. Хотя их самые ранние версии имели метафизическую подоплеку, для большей части исторических или современных волшебных квадратов не существует мистических ассоциаций. Они просто не предназначены для этих целей, равно как и кроссворды не могут являться путеводной нитью для Хроник Акаши [108].
Квадраты второго типа, настоящие магические квадраты, схожи с рервыми своей математической составляющей, но, кроме того, они имеют очень древние корни и долгую историю магического и оккультного использования. Вот о магических квадратах и поговорим далее.
Квадрат Дюрера (почти квадрат Юпитера)
Среди множества людей, очарованных волшебными/магическими квадратами, были художник Альбрехт Дюрер (1471–1528) и американский политик Бенджамин Франклин (1706–1790). Франклин, служивший в конце 1730-х, задолго до своего политического взлета, секретарем в Пенсильванской ассамблее, скуки ради занимался составлением квадратов [109]. Хотя оба, вероятно, наслаждались этими головоломками, Франклин (который был масоном) и Дюрер, конечно же, интересовались и метафизическими аспектами.
Квадрат Юпитера появляется на гравюре Дюрера «Меланхолия» — или почти появляется, поскольку Дюрер позволил себе здесь некоторые вольности (рис. 25, 26, 27). Зачем использовать квадрат Юпитера, если меланхолия метафизически соответствует планете Сатурн? Быть может, исцеления ради, Юпитер (он же Иов, как в слове «веселый» [110]) должен был противодействовать «сатурнальной» угрюмости?
Картина «Меланхолия» наполнена оккультными ассоциациями, над которыми до сих пор бьются историки искусств: сложное геометрическое тело, лестница в семь ступеней, компас (показывающий 51°25′ — значение, используемое для создания семиконечной звезды или разделения круга на 7) и другие реквизиты (рис. 25). Известно, что Дюреру нравилось создавать визуальные головоломки, чтобы с их помощью испытывать и забавлять своих друзей. Вероятно, и «Меланхолия» стоит в том же ряду.
Его решение развернуть квадрат Юпитера на 180° (рис. 26, 27), возможно, было обусловлено спецификой процесса печати. Работавшие в технике гравюры художники, для получения нормального оттиска с вытравленного на пластине изображения, должны были создавать свои композиции в зеркальном виде. Это означает, что любой текст и числа должны были быть первоначально написаны наоборот. Быть может, работая над размещением чисел на гравировальной доске, Дюрер захотел увековечить дату создания картины? Таким образом, повернув традиционный квадрат, он получил искомый 1514 год, прописавшийся в нижнем ряду. Есть еще одна числовая комбинация, о которой Дюрер, безусловно, знал: каждая строка квадрата Юпитера при сложении дает 34, а в 1514 году Альбрехту Дюреру исполнилось тридцать четыре года.
