Любое четное число всегда можно разделить на две четные или нечетные части, а вот нечетное – никогда: при любом делении одна часть всегда будет четной, а другая нечетной. Поскольку свойству деления метафорически соответствует свойство проявления, то делимость нечетных чисел не предполагала раздробление самой основы чисел – единицы. Пифагорейцы считали, что она совмещает мужские и женские атрибуты, поскольку при добавлении единицы к четному (отрицательному) числу получается нечетное (положительное) число, а при добавлении единицы к нечетному, оно превращается в четное, и таким образом, мужское число становится женским.
Согласно пифагорейскому определению, число представляет собой множество, составленное из единиц. Позднее, развивая эти идеи, Аристотель утверждал, что «точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Именно поэтому последователи пифагореизма определяли единицу, как «границу между числом и частями», то есть между целыми числами и дробями, хотя и видели в единице потенциально неделимый, «вечный корень бытия», своеобразный числовой атом. Все другие числа связаны с единицей нерасторжимыми и таинственными узами.
Четные числа начинаются с двойки, нечетные – с числа три и относятся к мужскому началу.
О негативном отношении пифагорейцев к четным числам и двоичности писала Е. П. Блаватская: «Нечетные числа Божественны, четные числа являются земными, дьявольскими и несчастливыми. Пифагорейцы ненавидели Двойку. У них она являлась началом дифференциации, следовательно противоположений, дисгармонии или материи, началом зла. В Теогонии Валентина Bythos и Sige (Глубь, Хаос, Материя, рожденная в Молчании) означали предвечную Двоячность. Однако, у ранних пифагорейцев Диада была тем несовершенным состоянием, в которое впало первое проявленное существо, когда оно отделилось от Монады. Это было той точкой, из которой раздвоились два пути – добра и зла. Все, что было двулично или ложно, называлось ими „Двоячностью”».
Пропорциональность чисел
Пифагорейцы оперировали числами с помощью камешков. Каждому числу соответствовал свой камешек – calculus (от этого слова произошло и современное название – «калькулятор»). Камешки раскладывали на доске, называемой абак. Сначала счет производился в уме, а затем числа стали фиксировать письменно. Операции с числами назвали нумерацией, распространившейся впоследствии в своих двух разновидностях – аттической и ионийской. До наших дней дошла таблица умножения, записанная в ионийском ключе, которая помимо своей основной функции представляла собой иллюстрацию такого свойства чисел как их пропорциональность.
Учение о пропорциях было важным свойством системы Пифагора. Под пропорциями пифагорейцы понимали равенства отношений между измеренными величинами. Основное свойство пропорций заключалось в том, что произведение средних членов пропорции всегда равно произведению крайних ее членов.
Пропорции подразделяли на арифметические, геометрические, гармонические (музыкальные) и непрерывные (то есть такие, у которых средние члены совпадали).
Одна из наиболее ярких пропорций, открытых пифагорейцами, была впоследствии названа Леонардо да Винчи «золотым сечением», который пытался воплотить ее принцип в своих многочисленных изобретениях. Принцип «золотого сечения» использовался в античной архитектуре.
Теория музыки
Пифагорейцы создали теорию музыки (о теории мы уже упоминали в предыдущих главах), в которой были раскрыты новые пропорции чисто звукового плана.
Основы теории составляют разнообразные понятия (гамма, интервал, консонанс, тоника, лад, музыкальный строй), но пифагорейцев больше всего интересовал музыкальный строй, математически выражающий принцип гармонии в системе звуковысотных отношений.
По одной легенде, Пифагор нашел гармонические числа, соотношение которых рождает музыку сфер. Камил Фламмарион так пересказывал это предание: «Рассказывают, что проходя мимо одной кузницы, он услыхал стук молотов, которые с точностью передавали музыкальные созвучия. Он велел взвесить молоты; оказалось, что из двух молотов, находившихся в расстоянии октавы, один весил вдвое больше другого; что из двух, находившихся в расстоянии квинты, один весил в три раза больше другого; а для расстояния кварты – один весил вчетверо больше другого. Легко было сделать подобные вычисления относительно терций, тонов и полутонов. После опытов над молотами, произвели опыт над струной, натянутой гирями. Оказалось, что когда струна издавала какой-то звук при определенном весе гири, то для повышения этого звука на октаву, вес гири потребовался вдвое больше; для квинты – только на треть больше, для кварты – на четверть, для тона – на одну восьмую, для полутона – на одну восемнадцатую, или около этого. Или говоря проще: натянули струну, которая при всей своей длине издавала какой-то звук; сжатая по середине, она давала октаву от первоначального звука; на одной трети длины – квинту, на четверти – кварту, на восьмой доле длины – тон, на восемнадцатой – полутон.
Так как древние определяли Душу по движению, то количество движения должно было служить для них мерою количества Души».
Последователи Пифагора под музыкой понимали не только звуки, извлекаемые из монохорда – популярного тогда однострунного музыкального инструмента древних греков, но и звучание космических тел, пение светил, которое они воспринимали не метафорически, а реально.
Е. П. Блаватская давала представление о космической октаве пифагорейской музыки сфер следующим образом: «Именно на числе семь Пифагор основал свою доктрину Гармонии и Музыки Сфер, назвав „тоном” расстояние Луны от Земли; от Луны до Меркурия – полутоном, так же как и от Меркурия до Венеры; от Венеры до Солнца – полтора тона; от Солнца до Марса – тон; от Марса до Юпитера – пол-тона; от Юпитера до Сатурна – пол-тона и от Сатурна до зодиака – один тон; что составляет семь тонов – диапазон гармонии. Вся мелодия Природы заключается в этих тонах и потому называется „Голосом Природы”».
Музыкальная теория пифагорейцев была основана на четком убеждении, что Вселенная устроена упорядоченным и симметричным образом. Именно поэтому слово Космос, которым в Древней Греции называли Вселенную, означало порядок, строй, гармонию, эстетически оформленную организацию мироздания.
Несовершенные, совершенные и сверхсовершенные числа
По качеству пифагорейцы разделяли числа на три основных категории – несовершенные, совершенные, сверхсовершенные. Чтобы определить, к какой категории относится конкретное число, они разбивали его на части, входящие в первый десяток и на само целое, таким образом, чтобы в результате получались не дроби, а целые части.
К несовершенным относили числа, сумма частей которых была меньше целого. Примером такого числа можно служить число 8, так как его половина – четверка, одна четверть – двойка и одна восьмая – единица в сумме дают число семь.
Совершенными считались такие числа, сумма частей которых равнялась целому. Первым совершенным числом считалась шестерка, так как ее половина – тройка, одна треть – двойка, одна шестая часть – единица в сумме составляют целое число шесть.
Сверхсовершенными считались такие числа, сумма частей которых превосходила рассматриваемое целое. Например, число 12, сумма частей которого (половина – шестерка, треть – четверка, четверть – тройка, шестая часть – двойка и двенадцатая часть – единица) в сумме дают число 16. К сверхсовершенными числами пифагорейцы также относили следующие числа: 18, 20, 24, 30, 40, 44 и др.
Виды чисел в науке и эзотеризме
Пифагорейская нумерология оказала существенное влияние на представления более поздних учений, рассматривающих числовой символизм.
Сакральную природу числа можно глубже понять, если рассматривать их не только с эзотерической позиции, но и в ракурсе обыкновенной науки.
В Большом энциклопедическом словаре написано: «Число, одно из основных понятий математики; зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем – идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… Задачи измерения длин, площадей, а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа. Понятие об отрицательном числе возникло у индийцев в VI–XI вв. Потребность в точном выражении отношений величин (например, отношение диагонали квадрата к его стороне) привело к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила лишь во второй половине XIX в., в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений в XVI в. были введены комплексные числа».
