На отрезке прямой золотое сечение выглядит таким образом (рис. 1.7): a: b = b: с или c: b = b: a.
Рис. 1.7. Так можно изобразить золотую пропорцию
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618…, если с принять за 1, а = 0,382.
Стоит обратить внимание на загадочные величины 0,618 и 0,382. Эти коэффициенты последовательности Фибоначчи чрезвычайно интересны. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.
Прямоугольник с таким соотношением сторон стали называть золотым прямоугольником: если от него последовательно и до бесконечности отрезать квадрат, то всегда останется золотой прямоугольник.
Существует еще золотой треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1,618, а также золотой кубоид.
В совершенной пентаграмме – пятиконечной звезде – каждая из составляющих ее пяти линий делит другую в золотой пропорции, а концы звезды образуют золотые треугольники.
Золотые пропорции воплощены в древнегреческом храме Парфенона, статуе Афродите Праксителя, театре Диониса в Афинах. Более того, при раскопках археологи обнаружили циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В них также заложены пропорции золотого деления. В те времена тайна золотого сечения была известна только посвященным и тщательно хранилась.
В Средние века многое, что почиталось в античном мире, как и пентаграмма вместе с золотым делением, было предано забвению.
Интерес к золотому делению возобновился в эпоху Возрождения. И пентаграмма, и золотое сечение были реабилитированы. В начале XVI века в Венеции была издана книга монаха Луки Пачоли (величайшего математика того времени) «Божественная пропорция». Роскошные иллюстрации предположительно сделал Леонардо да Винчи. Книга была гимном золотой пропорции, не поддающейся выражению доступным числом, скрытой и тайной, как и сам Бог. Пачоли назвал суть золотой пропорции выражением триединства Бога Сына, Бога Отца и Бога Духа Святого (малый отрезок – олицетворение Бога Сына, больший – Бога Отца, а весь отрезок – Бога Духа Святого).
Термин «золотое сечение», ставший популярным на века, придумал Леонардо да Винчи. Изучая пропорции, он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Для композиционного построения своей Джоконды он использовал все тот же золотой равнобедренный треугольник.
Альбрехт Дюрер, великий немецкий художник и теоретик искусства, разрабатывая теорию пропорций человеческого тела, также отводил важное место золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т. д. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении длины плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д. Пропорции мужского тела несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского.
Великий немецкий астроном Иоганн Кеплер первым обратил внимание на значение золотой пропорции для ботаники и называл ее продолжающей саму себя.
Позже золотое сечение превратилось в академический канон, однако затем в искусстве началась борьба с академической рутиной и о нем вновь надолго забыли. Заново открыл золотое сечение немецкий исследователь Адольф Цейзинг в середине XIX века. Он объявил его универсальным для всех явлений природы и искусства. Цейзинг проверял свою теорию на греческих статуях, вазах, архитектурных сооружениях, растениях, животных, птичьих яйцах, музыкальных тонах, стихотворных размерах. Ученый показал выражение золотого сечения в отрезках прямой и цифрах. Оказалось, что эти цифры составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и другую сторону.
Последовательность Фибоначчи
С историей золотого сечения связано имя математика Леонардо из Пизы, известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он был самым знаменитым математиком Средневековья. В 1202 году вышел в свет его труд «Книга об абаке» (счетной доске), где были собраны все известные в то время задачи, в том числе очень занятная задачка про кроликов. На примере живой природы она доходчиво разъясняла, что же такое последовательность Фибоначчи. Вот ее условие.
«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения».
Поскольку первая пара кроликов – новорожденные, то на второй месяц они не дадут приплода, и останется одна пара. На третий месяц они произведут одну пару: 1 + 1 = 2. На четвертый месяц из двух пар потомство даст лишь одна пара (вторая еще не дает приплода): 2 + 1 = 3 пары. На пятый месяц две родившиеся на третий месяц пары дадут потомство: 3 + 2 = 5 пар. На шестой месяц потомство дадут только те пары, которые родились на четвертом месяце: 5 + 3 = 8 пар и т. д.
Размышляя над подобным явлением, Фибоначчи вывел следующий ряд цифр.
Таким образом, из данной задачи выводится устойчивая закономерность, и эти числа образуют знаменитую последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Сами числа называются числами Фибоначчи, а их последовательность – последовательностью Фибоначчи.
Все достаточно просто, как все великое. В чем состоит смысл этой последовательности?
Оказывается, каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Оно обозначается греческой буквой «фи» – Ф и считается равным 1,618.
Оно дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение или уменьшение его до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Эту величину Лука Пачоли назвал Божественной пропорцией. Ее еще называют золотой пропорцией, золотым средним, золотым сечением. Именно это соотношение является одним из «сокровищ» геометрии.
Это еще не все. При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается величина, обратная фи (1: 1,618 = 0,618). Это примечательное явление, потому что оно также бесконечно.
При делении каждого числа на следующее за ним через одно получается 0,382.
1: 0,382 = 2,618.
Таким образом, выстраивается основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, которые играют особую регулирующую роль в природе.
Ряд Фибоначчи остался бы всего лишь математическим казусом, если бы исследователи растительного и животного мира и искусства неизменно не приходили бы к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.
Следует подчеркнуть, что гениальный Фибоначчи всего лишь сформулировал и тем самым как бы напомнил человечеству золотую последовательность, которая была известна под названием золотого деления еще в древнейшие времена.
Просто удивительно, как последовательность Фибоначчи проявляется в живом мире. Сам атом «построен» по принципу золотого сечения. Этот принцип относится к большинству, если не ко всем сферам современной науки.
Представление о золотом сечении дополняет спираль, очень распространенная в природе. Спирально завитую раковину изучал Архимед и вывел с ее помощью уравнение. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Многие природные процессы развиваются именно по спирали. Например, метель закручивает снежные массы по спиралям, ураган формируется и раскручивается также по спирали. Обыкновенный паук плетет свою паутину спиралеобразно. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Двойной спиралью закручена молекула ДНК. Гете называл спираль «кривой жизни». На ветках деревьев листья растут не беспорядочно, а винтообразно и в направлении по спирали. Опираль четко прослеживается в расположении семян подсолнечника.
Совместные исследования ботаников и математиков пролили свет на эти удивительные явления. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а значит, закон золотого сечения. Ананас и кактус тоже воплощают принцип золотого сечения.
Эти закономерности проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов, в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также в биоритмах и функционировании головного мозга в зрительном восприятии.
