5.2.1 О магии цифр. Что такое магические квадраты
О магии цифр можно рассказывать много. В качестве примера в начале этого исследования мы уже упоминали о цифре 4. Очень многое можно сказать подобным образом о любой цифре.
Например, цифра 1 – единица, начало всего. Цифра 2 – разделение, противоположность двух полов. 3 – треугольник… И так далее. Это очень благодатная тема, углубляться в которую можно бесконечно.
Поэтому оставим ее и прейдем к магическим квадратам, которые имеют прямое отношение к Чатуранге.
Магическими квадратами называют квадратные таблица из целых чисел, которые обладают уникальными свойствами: например, суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
Считается, что магические квадраты изобретены в Древнем Китае, а также были известны в Древней Индии, откуда берёт начало Чатуранга. В частности это доказывает Н. М. Рудин в своей книге «От магического квадрата – к шахматам».
Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н. э.) из вод Хуанхэ (Жёлтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы. Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия 1». Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
В 19–20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.
Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n – 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края. Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными.
Магические квадраты можно строить, например, с помощью метода французского геометра 17 в. А. де ла Лубера.
По методу А. де ла Лубера магический квадрат 5×5 можно построить так:
Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.
Получается такой магический квадрат:
Можно также воспользоваться методом Ф. де ла Ира (1640–1718), который основан на двух первоначальных квадратах. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.
5.2.2. Магические квадраты в Чатуранге
5.2.2.1 Магия немагического квадрата
Любопытно, что самый простой (немагический) квадрат 5×5, где цифры идут просто одна за одной – от 1 до 25 может также обладать необычными свойствами.
Так, в этом простом квадрате сумма «Креста Слона» (1,5,7,9,17,19,21,25) дает в сумме 104. «Крест Ладьи: (3,8,11,12,14,15,18,23) также равен 104.
То же можно сказать о «Центре Короля» (7,8,9,12,14,17,18,19), сумма которого равна 104. И «Круге Коня», сумма которого (2,4,6,10,16,20,22,24) опять же равняется 104.
5.2.2.2 Магия магических квадратов
Итак, нам теперь известно, что магических числовых квадратов любого порядка можно построить великое множество.
И тут мы приближаемся еще к одному кажущемуся противоречию, когда я Чатурангу называю то «тестом», то «гаданием», то «тестом-гаданием». Вполне возможно, что в Древней Индии, откуда берет начало Чатуранга использовались магические квадраты.
То есть можно предположить, что если брать не просто матрицу, а матрицу – магический квадрат, то Чатуранга из теста превращается в гадание. А значит – каждому отмеченному квадрату может соответствовать своя цифра, которую потом можно складывать в сумму, а сумму – методом сложения чисел – превратить в простое число меньше от 1 до 9. (Например: 21 = 2+1 = 3).
И тогда, даже если гадание разным людям происходит с помощью одного и того же магического квадрата, то цифровые значения разных «классических расстановок» скорее всего будут различными.
Можно предположить и более сложную конструкцию гадания: когда для гадания определенному человеку создаётся уникальный магический квадрат, исходя из каких-то особенностей этого человека (например, за основу квадрата может быть взято простое число, вычисленное методом сложения из его даты и года рождения).
Целью данной работы не является подробное рассмотрение таких гаданий, поэтому ограничимся лишь объяснением принципа. Хотя, вполне вероятно, что продолжение этой темы ещё ждёт своего исследователя.
Слово «тест» происходит от англ. test – испытание, исследование, опыт, проба. А гадание (по энциклопедическому словарю Брокгауза и Ефрона) – стремление раскрыть что-либо таинственное, недоступное обычным средствам познания, в особенности будущее. Синонимы: предсказание, оракул.
То есть первое – это научное исследование, имеющее строгое внутреннее обоснование, а второе – результат мистических, бездоказательных (а зачастую и недоказуемых) обоснований. Тем не менее, и первое, и второе сегодня очень популярны и носят массовый характер.
Гадания предполагают, во-первых, тесную связь некоторых явлений природы с судьбой человека, или участие в этой судьбе духов и душ умерших; во-вторых, способность при известных условиях распознавать смысл и значение разных природных явлений или знаки, подаваемые человеку духами. В древности у греков (так наз. мантика), римлян, египтян и др., было возведено на степень государственного учреждения, оправдывалось и объяснялось философами. Гадания были весьма разнообразны: по небесным знамениям (по звездам, грому, молнии и тому подобное), по внутренностям жертвенных животных, по полёту птиц, по огню (горит ли ярко, или мерцает, дает искры и тому подобное), по воде (журчанье ручья, шуму мельничных колес, по растопленному воску или олову, вылитому в воду, по случайно услышанному слову, по наугад раскрытой книге (библиомания), по линиям руки (хиромантия), по жребию, на игральных картах, бросанием костей, по сновидениям, по особым гадальным книгам. То есть гадания появились в такой глубокой древности, что их происхождение можно смело приравнивать к первым зачаткам религиозности, а то есть к истории всего человечества.
Не стоит умалять их значение и в наши дни – для демонстрации их популярности стоит всего лишь открыть на последней странице практически любой журнал или газету, где публикуются гороскопы – тоже, конечно, вид гаданий или набрать слово «гороскоп» в любой поисковой программе Интернет. Как и в древности, предсказания продолжают волновать умы людей.
Тесты – это, по сути, современная разновидность гаданий. Даже если тест носит строго научный, исследовательский характер в нем всегда остается процент случайности и тестируемым он подсознательно может восприниматься как гадание. По сути тест – это та же психологическая ниша, что и предсказание или ниша, очень близкая к ней – как по влиянию на человека, так и по интересу.
