Представим себе более реалистичный базовый процент, когда пьян 1 водитель из 1000. Значит, есть маленький шанс (0,1 %), что человек, которого случайно остановила полиция, пьян. А так как мы знаем, что один из 20 тестов выдает ошибку (ошибка возникает в 5 % случаев), полиция, скорее всего, сделает очень много ошибок, прежде чем действительно поймает пьяного за рулем.
На самом деле,
если полиция остановит тысячу человек, в среднем они проведут около 50 ошибочных тестов, пытаясь найти одного по-настоящему нетрезвого водителя. Таким образом, вероятность ошибки алкотестера составляет всего 2 %,
то есть аппарат ошибочно показывает, что человек пьян. Или можно заявить, что трезвые водители попадаются в 98 % случаев. А это намного, намного больше, чем 5 %!
Итак, Р(А|В) не равно Р(В|А), но как же они связаны? Существует очень полезная теорема Байеса, которая показывает взаимосвязь между этими двумя условными вероятностями. Вот как на примере нетрезвого вождения можно применить теорему Байеса, чтобы вычислить результат в 2 %.
Теорема Байеса
Ошибка базового процента
Теперь, когда вы знаете о теореме Байеса, вы также должны знать, что в статистике есть две школы, основанные на разных представлениях о вероятности: частотная и байесовская. Большинство исследований, о которых вы слышите в новостях, основаны на частотной статистике, которая требует и опирается на множество наблюдений за событием, прежде чем сделать надежные статистические выводы. Частотники считают, что вероятность фундаментально связана с частотой возникновения событий.
Наблюдая частоту результатов в большой выборке (например, спрашивая большое количество людей, одобряют ли они Конгресс), частотники вычисляют неизвестное количество. Но если точек ввода данных очень мало, они ничего не могут сказать по существу, потому что доверительные интервалы, которые они вычислят, будут очень большими. С их точки зрения, вероятность без наблюдений не имеет смысла.
Напротив, байесовцы позволяют себе вероятностные суждения о любой ситуации, независимо от того, были ли какие-либо наблюдения. Для этого они начинают с приведения соответствующих данных к статистическим определениям. Например, подбирая монетку на улице, изначально вы, вероятно, решите, что шансы выбросить решку составляют 50/50, даже если никогда раньше не видели, чтобы эту монетку подбрасывали. В байесовской статистике можно учесть в задаче такое знание базовых процентов. А в частотной статистике так сделать нельзя.
Многие люди считают байесовский взгляд на вероятность более интуитивным, потому что он похож на естественное развитие ваших убеждений. В повседневной жизни вы не начинаете каждый раз с нуля, как частотники. Например, в вопросах политики отправная точка – это ваши знания по определенному вопросу (байесовцы зовут это априори), но получив новые данные, вы (будем надеяться) обновите свое априори на их основании. То же самое верно для отношений, когда начальная точка для вас – это пережитый вами опыт с определенным человеком.
Сильное априори – это отношения на всю жизнь, а слабое – только первое впечатление.
В предыдущем разделе вы видели, как частотная статистика производит доверительные интервалы. Такая статистика говорит вам, что, если провести эксперимент множество раз (например, подбросить монетку сто раз), вычисленные доверительные интервалы будут содержать изучаемый параметр (например, 50 % вероятность выбросить решку) до указанного уровня доверия (например, 95 % раз). К большому разочарованию многих, доверительный интервал не сообщает, что есть 95 % вероятность получить истинное значение параметра в этом интервале. Напротив, байесовская статистика аналогичным образом производит байесовские доверительные интервалы, которые это сообщают. Они указывают текущий наилучший оценочный диапазон для вероятности параметра. Таким образом, байесовский подход снова оказывается более интуитивным.
На практике оба подхода дают очень похожие результаты и по мере поступления данных должны сходиться к одному и тому же выводу. Ведь они оба пытаются найти одну и ту же основную истину. Исторически точка зрения частотников была популярнее, во многом потому, что байесовский анализ часто бывает затруднительным из-за громадного объема вычислений. Хотя нынешние вычислительные машины легко с этим справляются.
Байесовцы уверены, что с сильным априори они начинают ближе к истине и быстрее достигают конечного результата с меньшим числом наблюдений. Поскольку наблюдения требуют денег и времени, это привлекательно. Но есть и обратная сторона: возможно, байесовские априори на самом деле делают обратное – заставляют начинать дальше от истины. Такое происходит, если это сильные убеждения на основе искажения подтверждения (см. главу 1) или другой когнитивной ошибки (например, неоправданно сильного априори). В таком случае байесовский подход будет искать истину дольше, так как точка зрения частотников (с нуля) ближе к истине с самого начала.
Можно сделать вывод, что есть два подхода к статистике и они оба верны, если все делать правильно. Некоторые люди являются убежденными идеологами, которые клянутся в верности одной философии или другой, тогда как прагматики (вроде нас) используют те методы, которые лучше всего подходят для ситуации. Помните, что нельзя допускать путаницы между условной вероятностью и ее обратным значением: P(A|B) не равно P(B|A). Теперь вы знаете, что эти вероятности связаны теоремой Байеса, которая учитывает соответствующие базовые проценты.
Правильно или нет?
Вы узнали, что не должны основывать свои решения на единичных случаях и что маленькие выборки не могут достоверно показать, что произойдет в большой группе населения. Может быть, вам стало интересно: сколько данных достаточно, чтобы быть уверенными в своих выводах? Установление размера выборки, общего числа собранных точек данных – это уравновешивающее действие. С одной стороны, чем больше информации вы соберете, тем точнее будут ваши подсчеты и тем увереннее вы будете в своих выводах. С другой стороны, на сбор большого количества информации уйдет больше времени и денег и, возможно, риску подвергнется больше участников. Итак, как установить правильный размер выборки?
Даже идеально спланированный эксперимент иногда будет давать случайный результат, который заставит сделать неправильные выводы.
Больший размер выборки придаст больше уверенности в том, что положительный результат возник не случайно, а также даст больше шансов получить этот положительный результат.
Рассмотрим типичную ситуацию с опросом общественной поддержки предстоящего референдума, например по легализации марихуаны. Предположим, что референдум в конечном итоге провалился, но социологи случайным образом выбрали в качестве респондентов людей, которые были благосклоннее к проекту, чем остальное население. Это приведет к ложноположительному результату – положительному результату, который на самом деле оказался ложным (как и ложный результат алкотестера). Или наоборот, референдум в конце концов оказался успешным, но социологи случайно выбрали людей, которые меньше его одобряли по сравнению со всем населением. Получился ложноотрицательный результат – отрицательный результат, который на самом деле был истинным. В качестве другого примера рассмотрим маммографию – медицинский тест для диагностики рака молочной железы. Кажется, что такой тест имеет два возможных результата: положительный и отрицательный. Но на самом деле у маммографии четыре возможных результата, которые отображены в следующей таблице. Два результата, о которых вы сразу подумали: истинно положительный или истинно отрицательный. Другие два результата выдаются при ошибке теста – ложноположительный и ложноотрицательный результат.
