(2.1)
где φ- фаза момента времени наступления события; J – момент наступления события; Т – период исследуемой гармоники.
Условимся, что модуль вектора, которому соответствует событие равен 1.
Для седьмого момента аварии фаза события для исследуемой гармоники 1445 часов составит:
График попадания события в полярных координатах имеет вид, представленный на рисунке
График 2.1. - Попадание
Рисунок 2.1. – График попадания седьмого события в полярных координатах
Жирной точкой обозначено попадание события в полярных координатах. Модуль вектора равен 1, фаза равна 26,381 радиан.
Как получают моменты времени в полярных координатах для которых соответствуют моменты аварий мы определились. Теперь посмотрим, как располагаются точки моментов аварий для всех 10 моментов аварий, для периода исследуемой гармоники 1445 часов, рисунок 2.2. Как видно из данного рисунка девять из десяти событий находятся в правой полуплоскости, что свидетельствует о наличии закономерности на гармонике с периодом 1445 часов.
Таблица 2.1. – Время наступления аварий дрессировочного стана.
Номер аварии
Время наступления аварии (часы)
1
0
2
22
3
354
4
5022
5
5531
6
5690
7
6067
8
7230
9
7290
10
7546
Рисунок 2.2. – Моменты попадания аварий дрессировочного стана для гармоники с периодом 1445 часов.
Необходимо проанализировать как ведет себя процесс выхода из строя электрооборудования на всех периодах гармоник от 1 до 7546 часов. 7546 часов выбрано из – за того, что время наблюдение за процессом оканчивается данным временем.
Разложим для седьмого момента аварии вектор попадания события на составляющие синусные и косинусные. График иллюстрирующий это находится на рисунке 2.3.
Синусные составляющие Ах и косинусные составляющие Ау вычисляются по формуле:
(2.2)
(2.3)
Модуль вектора определяется по формуле известной из математики:
(2.4)
Рисунок 2.3. – Разложение вектора седьмого события по синусным и косинусным составляющим.
Для единичного события модуль равен 1. Вычислим модуль вектора для десяти событий выхода из строя электрооборудования дрессировочного стана. Чем ближе модуль вектора к единице, тем больше закономерность на данной гармонике. Синусные составляющие вычислим по формуле:
(2.5)
где Tj – период исследуемой гармоники, Ах – синусная составляющая закономерности, Ji – время наступления i –той аварии. N- количество аварий.
Косинусные составляющие вычислим по формуле:
(2.6)
где Ау – косинусная составляющая закономерности.
Модуль закономерности вычислим по формуле:
(2.7)
где Аm – модуль закономерности на периоде исследуемой гармонике Tj.
Вычислим модуль закономерности на всех интересующих нас гармониках. Данный график представлен на рисунке 2.4
Рисунок 2.4. – Амплитудно - периодическая зависимость наступления аварий дрессировочного стана.
Как видно из данного графика на низких периодах функция ведет себя как резко – переменная, но на некоторых периодах достигает закономерности больше 50%, а на больших периодах ведет себя плавно и достигает значений больше 60%.
Выводы по второй главе:
Обнаружена закономерность в случайном процессе с помощью спектрального анализа. Существующую закономерность можно представить в виде спектра гармоник. На каждом периоде гармоники возможно рассчитать вероятность возникновения события. Вероятность возникновения события рассчитывается по синусным и косинусным составляющим.
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПЛЯС РЯДОВ
Пляс ряды предназначены для анализа событий, в которых известно лишь время наступления этого события и ничего не известно о поведении функции между наступлениями события (например авария оборудования). Пляс ряды доказываются на основании рядов Фурье.
Пусть f(t) функция состояния некоторого события на рисунке 1. (в частном случае, если площадь под функцией равняется 1, то функция состояния является плотностью вероятности случайного события ).
Рисунок 1. – Функция состояния случайного процесса
Общее число событий N стремится к бесконечности. За период времени ∆t1 происходит А1 количество событий, за период времени ∆t2 происходит А2 количество событий и так далее.
Общее число интервалов m. Каждый интервал времени ∆t бесконечно малый и является интервалом дискретизации для преобразования Фурье.
При стремлении количества событий к бесконечности Пляс ряды автоматически трансформируются в ряды Фурье, которые уже доказаны.
Формулы данных рядов – формулы 1,2.
(1)
(2)
Где v – номер гармоники, f- опорная частота дискретизации, m - число интервалов дискретизации, t – текущее время. Fx(v) – синусная составляющая прямого преобразования Фурье и Пляс рядов, Fу(v) – косинусная составляющая прямого преобразования Фурье и Пляс рядов, Aq – для рядов Фурье – значение функции, а для Пляс рядов количество событий. В формуле 1 и 2 f – частота. А в Пляс рядах T- период.
Как известно из математики f=1/T. Поэтому с математической точки зрения все верно в доказательстве Пляс рядов.
Выше приведенное преобразование есть Пляс преобразованием и работает даже в тех случаях, когда не все интервалы времени заполнены событиями, каждому событию для Пляс радов приписывается единица (если в момент времени t случилось одно событие, то Aq=1).
.1. Проверим на примере роботу прямого и обратного Пляс преобразования.
Пусть есть функция состояния случайного процесса
(3)
График данной функции представлен на рисунке 2.
Рисунок 2. – Функция состояния случайного процесса.
Где функция позитивное событие позитивное, где функция негативна, событие противоположно, то есть негативное значение для прямого Пляс преобразования.
На основании данной функции можно составить поток событий (аналогично тому как по плотности вероятности получают поток случайных событий). Где функция больше по модулю, для этих интервалов происходит больше событий.
Позитивный поток событий:
Негативный поток событий:
Поскольку данная функция состояния периодическая (период 40), то можно продолжить поток событий и довести количество событий как позитивных, так и негативных до 90(для увеличения точности расчета).
