А. Красько - Схемотехника аналоговых электронных устройств

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику yo включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

Рисунок 8.5. Расчёт чувствительности S-параметров

SSijy0 = dSij/dy0 = kij(Δji(k+l)(k+l)Δ – Δ(k+l)(k+l)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(k+l)i/Δ²  = –kij[(Δjk – Δjl)(Δki – Δli)]/Δ²

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения [3]:

Δ(i+j)(k+l) = Δi(k+l) + Δj(k+l) = (Δik – Δil) + (Δjk – Δjl),

ΔijΔkl – ΔilΔkl = ΔΔij,kl.

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви gэ=1/rэ и параметру управляемого источника a включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

SSijgэ = dSij/dgэ = kij[(Δji(k+l)(k+l)Δ + αΔij(k+l)(p+q))Δ – (Δ(k+l)(k+l)Δ+αΔ(k+l)(p+q)Δij])/Δ² = –kijΔ(k+l)i(Δj(k+l) + αΔj(p+q))/Δ²  = –kij(Δki – Δli)[(Δjk – Δjl)+ α(Δjp - Δjq)/Δ²,

SSijα = dSij/dα = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(p+q)Δ(k+l)i/Δ²  = –kij[(Δjp – Δjq)(Δki – Δli)]/Δ².

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

SSijS = dSij/dS = kij(Δji(k+l)(p+q)Δ – Δ(k+l)(p+q)Δji)/Δ² = –kijΔj(k+l)Δ(p+q)i/Δ²  = –kij[(Δjk – Δjl)(Δpi – Δqi)]/Δ².

Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, ykl, будет равна

SSijykl = dSij/dykl = kij(Δji,klΔ – ΔklΔij)/Δ² = –kijΔjlΔki/Δ².

При известной чувствительности ykl к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как

SSijx = (dSij/dykl)(dykl/dx) = SSijykl·Syklx.

Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.

Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем (KU, Zвх, Zвых и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел Kij=Sji/(1+S11) чувствительность к изменению параметра x (полагая, что Sij=f(x) и Sii=φ(x)) получаем

SKijx = dKij/dx = [SSijx(1 + Sii) – SSiixSij]/(1 + Sii)².

Аналогично для Zвх(вых) (Zii(jj)) имеем

Zii(jj) = Zг(н)·(1 + Sii(jj))/(1 – Sii(jj));

SZii(jj)x = dZii(jj)/dx = –2Zг(н)·SSii(jj)x·Sii(jj)/(1 – Sii(jj))².

Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем. Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.

В подразделе 2.3 приведена основная идея обобщенного метода узловых потенциалов, на основе которого были получены большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами данного метода (простота программирования, малая размерность получаемой матрицы проводимости Y, n*n, где n- количество узлов схемы без опорного), данный метод имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей, источников напряжения, зависимых источников, управляемых током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа p должен быть в числителе для того, чтобы система алгебраических уравнений и полученная в результате преобразования система дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).

В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений электрической цепи, наиболее общим из которых является табличный [4].

В этом методе все уравнения, описывающие цепь, включаются в общую систему уравнений, содержащую уравнения Кирхгофа для токов, напряжений и компонентные уравнения.

Уравнения Кирхгофа для токов можно представить в виде

AIв = 0,

где A — матрица инценденции [4], описывающая топологию цепи, Iв — вектор тока ветвей.

Уравнения Кирхгофа для напряжений имеют вид

Vв – AtVп = 0,

где Vв и Vп — соответственно, вектора напряжений ветвей и узловых потенциалов, At — транспонированная матрица инценденции A.

В общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

YвBв + ZвIв = Wв,

где Yв и Zв — соответственно, квазидиагональные матрицы проводимости и сопротивления ветвей, Wв — вектор, куда входят независимые источники напряжения и тока, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях.