до каждого из этих узлов?
До узла A вы будете добираться 6 минут, а до узла B — 2 минуты. Что касается остальных узлов, мы о них пока ничего не знаем.
Так как время достижения конечного узла остается неизвестным, мы считаем, что оно бесконечно (вскоре вы увидите почему.) Узел B — ближайший… он находится всего в 2 минутах.
Шаг 2: вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы добраться до всех соседей B при переходе по ребру из B.
Ого, да мы обнаружили более короткий путь к узлу A! Раньше для перехода к нему требовалось 6 минут.
А если идти через узел B, то существует путь, который занимает всего 5 минут!
Если вы нашли более короткий путь для соседа B, обновите его стоимость. В данном случае мы нашли:
• Более короткий путь к A (сокращение с 6 минут до 5 минут).
• Более короткий путь к конечному узлу (сокращение от бесконечности до 7 минут).
Шаг 3: повторяем!
Снова шаг 1: находим узел, для перехода к которому требуется наименьшее время. С узлом B работа закончена, поэтому наименьшую оценку времени имеет узел A.
Снова шаг 2: обновляем стоимости соседей A.
Путь до конечного узла теперь занимает всего 6 минут!
Алгоритм Дейкстры выполнен для каждого узла (выполнять его для конечного узла не нужно). К этому моменту вам известно следующее:
• Чтобы добраться до узла B, нужно 2 минуты.
• Чтобы добраться до узла A, нужно 5 минут.
• Чтобы добраться до конечного узла, нужно 6 минут.
Последний шаг — вычисление итогового пути — откладывается до следующего раздела. А пока я просто покажу, как выглядит итоговый путь.
Алгоритм поиска в ширину не найдет этот путь как кратчайший, потому что он состоит из трех сегментов, а от начального узла до конечного можно добраться всего за два сегмента.
В предыдущей главе мы использовали поиск в ширину для нахождения кратчайшего пути между двумя точками. Тогда под «кратчайшим путем» понимался путь с минимальным количеством сегментов. С другой стороны, в алгоритме Дейкстры каждому сегменту присваивается число (вес), а алгоритм Дейкстры находит путь с наименьшим суммарным весом.
На всякий случай повторим: алгоритм Дейкстры состоит из четырех шагов:
1. Найти узел с наименьшей стоимостью (то есть узел, до которого можно добраться за минимальное время).
2. Проверить, существует ли более дешевый путь к соседям этого узла, и если существует, обновить их стоимости.
3. Повторять, пока это не будет сделано для всех узлов графа.
4. Вычислить итоговый путь (об этом в следующем разделе!).
Терминология
Я хочу привести еще несколько примеров применения алгоритма Дейкстры. Но сначала стоит немного разобраться с терминологией.
Когда вы работаете с алгоритмом Дейкстры, с каждым ребром графа связывается число, называемое весом.
Граф с весами называется взвешенным графом. Граф без весов называется невзвешенным графом.
Для вычисления кратчайшего пути в невзвешенном графе используется поиск в ширину. Кратчайшие пути во взвешенном графе вычисляются по алгоритму Дейкстры. В графах также могут присутствовать циклы:
Это означает, что вы можете начать с некоторого узла, перемещаться по графу, а потом снова оказаться в том же узле. Предположим, вы ищете кратчайший путь в графе, содержащем цикл.
Есть ли смысл в перемещении по циклу? Что ж, вы можете использовать путь без прохождения цикла:
А можете пройти по циклу:
Вы в любом случае оказываетесь в узле A, но цикл добавляет лишний вес. Вы даже можете обойти цикл дважды, если вдруг захотите.
Но каждый раз, когда вы проходите по циклу, вы только увеличиваете суммарный вес на 8. Следовательно, путь с обходом цикла никогда не будет кратчайшим.
Наконец, вы еще не забыли наше обсуждение направленных и ненаправленных графов из главы 6?
Само понятие ненаправленного графа означает, что каждый из двух узлов фактически ведет к другому узлу. А это цикл!
В ненаправленном графе каждое новое ребро добавляет еще один цикл. Алгоритм Дейкстры работает только с направленными ациклическими графами, которые нередко обозначаются сокращением DAG (Directed Acyclic Graph).
История одного обмена
Но довольно терминологии, пора рассмотреть конкретный пример! Это Рама. Он хочет выменять свою книгу по музыке на пианино.
«Я тебе дам за книгу вот этот постер, — говорит Алекс. — Это моя любимая группа Destroyer. Или могу дать за книгу редкую пластинку Рика Эстли и еще $5». — «О, я слышала, что на этой пластинке есть отличные песни, — говорит Эми. — Готова отдать за постер или пластинку мою гитару или ударную установку».
«Всю жизнь мечтал играть на гитаре, — восклицает Бетховен. — Слушай, я отдам тебе свое пианино за любую из вещей Эми».
Прекрасно! Рама с небольшими дополнительными тратами может поменять свою книгу на настоящее пианино. Теперь остается понять, как ему потратить наименьшую сумму на
