Будет ли в новых курсах мехмата учтена математика, связанная с компьютерной, информационной революцией?
- Да, разумеется, на мехмате многое делается в этом направлении, особенно на кафедре дискретной математики, теории интеллектуальных систем, теории чисел, ряде других. Несколько лет назад я организовал на факультете большой семинар по квантовой информатике. Наша кафедра почерпнула оттуда хорошие геометрические задачи, которые потом пустили в активную работу со студентами и аспирантами, еще на нескольких кафедрах возникло заметное движение, вдохновленное квантовыми вычислениями. Но потом мы этот семинар приостановили, так как пришли к выводу, что нам, математикам, пока рановато включаться в конкретную прикладную деятельность по созданию КК в железном виде. По моему ощущению, в этой области наряду с замечательными идеями есть и очень туманные спекуляции. Многие идеи при тщательном их продумывании воспринимаются нами с большим подозрением, по крайней мере они до сих пор не обоснованы. Впрочем, в новые программы некоторых кафедр элементы квантовой информатики могут войти.
Могу назвать еще компьютерную геометрию (КГ). Это огромная, очень интересная сфера деятельности, там есть замечательные теоретические задачи. На нашей кафедре уже года четыре читается спецкурс по КГ, мы написали учебник (мгновенно раскупленный), работаем в области КГ вместе с коллегами из Японии и Сингапура. Это одна из тем, которые я постараюсь ввести в наше обязательное преподавание.
Как быстро планируется провести реформу?
- Думаю, за три-четыре месяца будет составлен план реформирования программы факультета. А сама реформа потребует, видимо, около года.
Принцип кирпича
Вы берете за образец программу какого-нибудь западного университета?
- По инициативе ректора МГУ Виктора Антоновича Садовничего было сделано очень полезное дело - сравнение программ мехмата по математике и механике с программами ведущих вузов мира. В течение года все наши кафедры вели эту огромную работу. Была, опять-таки, построена матрица: по столбцам выписали 20–25 лучших университетов (Кембридж, Гарвард, Оксфорд, Эколь Нормаль и др.), а по строкам - темы, представленные в программах. На пересечении строки и столбца ставилась отметка - есть ли данная тема в данном вузе. Мы использовали наши программы, изучили вывешенные в Интернете программы зарубежных вузов. Мы также опросили коллег, работающих в этих вузах, и они дали ценные комментарии к программам: что акцентируется, что нет, и т. п.
И что же оказалось?
- Главных выводов два, приятный и не очень. Приятный вывод: мехмат уверенно занимает первое место в мире по количеству изучаемых тем (учитывая обязательные курсы и спецкурсы). Что такое "тема" - вопрос сложный, мы подошли к нему так: взяли основные учебники (наши и западные) - по топологии, геометрии, дифференциальным уравнениям, другим разделам математики - и использовали перечень тем из оглавлений. Программы курсов - это тоже перечень тем. Так вот, в этом смысле по количеству тем мехмат держит первое место, далее, на уровне 60% от нашего объема, следуют Гарвард и Кембридж.
Ну а второй вывод, неприятный, - мы явно проигрываем по аспирантуре. И количество изучаемых в аспирантуре тем, и отдача аспирантов в сравнении с ведущими западными вузами у нас заметно меньше.
Объяснение таково: наше образование построено, грубо говоря, по принципу кирпича. Пять лет учебы - единый кирпич, хотя в нем много разных прожилок и струй. Студенты в общем-то усваивают более-менее весь кирпич. Что, конечно, для образования очень хорошо. Оказывается, что выпускник пятого курса мехмата, даже если он троечник, много чего усваивает на уровне подсознания. Но только в аспирантуре начинается серьезная специализация по отдельным струям. Образование, скажем, в Оксфорде или Кембридже устроено по иному принципу. Там этот кирпич существенно меньше - он занимает год-полтора. Потом начинается специализация, гораздо раньше, чем у нас. В итоге они проигрывают по подготовке студентов, но выигрывают за счет аспирантуры. Именно после этого сравнения возникла мысль провести реформу образования на мехмате. Мы будем проводить ее с учетом наших преимуществ и недостатков, но ни в коем случае не копируя тот или иной знаменитый университет.
В середине 1960-х некоторые важнейшие направления математики, бурно развивавшиеся в мире, - в первую очередь алгебраическая топология (сегодня она - основной математический язык новой физики), - на мехмате были практически неизвестны! Тогда замечательный тополог Михаил Михайлович Постников открыл семинар по этим направлениям, в работе которого участвовали молодые ученые, аспиранты, студенты (если не ошибаюсь, и вы тоже). Многие из них вскоре достигли блестящих результатов, стали лидерами мощных научных школ. Это был несомненный взлет, прорыв. Может быть, и сейчас где-то происходит что-то очень яркое, новое, важное - а на мехмате это никак не представлено?
- Вполне возможно. Наверняка есть много тем, которые закипели, бурно развиваются - но от которых мы пока в стороне. Вот это мы и выясним в ходе реформы. В те годы все было именно так, как вы говорите, и я хорошо помню, как мы это делали. Естественно, нечто подобное хотим сделать и сейчас.
Взгляды и вызовы, рекорды и материки
Какие новые яркие направления в математике вы могли бы назвать?
- Из того, что близко к моей сфере деятельности, я уже упоминал компьютерную геометрию, замечательное новое направление. Еще один важный пример - знаменитая работа Перельмана, решение проблемы Пуанкаре. Эта работа открыла пионерское направление в науке. Неожиданное, очень глубокое, бурно развивающееся, с замечательными теоремами, даже с новой идеологией. Очень многое было сделано в последние десятилетия на стыке физики и топологии. Здесь и теория инстантонов, и теория солитонов, и решение уравнений в частных производных (анализ уравнений типа Кортевега-де Фриза). Наконец, геометрические и топологические методы в задачах интегрирования гамильтоновых систем - там есть замечательные вспышки, открытия последних лет. Моя школа очень активно работает в этой области.
Что бы вы отнесли к самым ярким достижениям последнего времени в математике в целом?
- Если говорить о рекордах, покоренных вершинах, - Перельмана мы уже назвали, ну и, естественно, Уайлз - теорема Ферма.
Работа Уайлза дала импульс для развития новых областей науки?
- Об этом мне судить труднее, чем о работах Перельмана. Насколько я понимаю, идеи Уайлза еще не проникли достаточно глубоко в смежные сферы математики. К тому же работа Уайлза очень сложная. Были попытки написать более простое доказательство - я в них сам не разбирался, но есть ощущение, что весь этот аппарат понят пока лишь очень немногими. С Перельманом ситуация все-таки другая, и уже ясно, что кроме чисто "спортивного" успеха у него сделано нечто большее.
Мы когда-то писали о задачах-вызовах, за решение которых обещаны призы в миллион долларов. Как вы считаете, такие вызовы стимулируют развитие науки или только спортивную ее сторону?
- Есть два типа жизни в математике. Два способа мышления. Вызовы, знаменитые проблемы, которые многие хотят решить, привлекают людей определенного склада ума, их можно назвать великими спортсменами. Они хотят выиграть. Хотят получить золото. Но есть и те, кто стремится открывать неизвестные острова, материки. Такие люди делают работы, нацеленные не на решение проблем, а на открытие новых направлений. И то и другое замечательно, и то и другое стимулирует развитие науки.
Можно ли привести недавние достижения, относящиеся ко второму типу?
- Я бы назвал пионерские работы по теории узлов (см. врезку. - Л.Л.-М.). Возник новый язык, открыты многочисленные и очень интересные инварианты узлов - полином Джонса, инвариант Васильева. Проблема классификации узлов пока не решена. Но открыт новый мир, мир инвариантов, которые управляют узлами, и сейчас этим миром занимаются ради него самого. Жизнь в этом мире необычайно увлекательна, изучать инварианты так интересно, что люди занимаются ими, даже не будучи уверены в том, что проблема классификации будет решена. К тому же эта область имеет массу приложений, в первую очередь в физике. Надо сказать, что все по-настоящему глубокие вещи в математике так или иначе связаны с какими-то соображениями из математической физики.
Значит, наибольший толчок развитию математики дает именно физика? Или компьютерный мир тоже?
- Полагаю, что и физика, и компьютерный мир. Физика мне ближе, я все-таки занимаюсь сейчас гамильтоновыми системами и вижу массу новых идей, возникающих из приложений в физике и механике. Второе, что я вижу, - в компьютерном мире (понимаемом широко) возникает очень много идей, которые важны для фундаментальной математики. Я бы назвал еще и биологию как важный источник задач для современной математики. Но это лишь то, что связано с моими собственными научными интересами.
